с граничными условиями
g
(0
, z
2
;
s
) =
e
z
2
s
,
g
(
z
1
,
0;
s
) =
e
z
1
.
Решение
методом Римана задачи Дарбу
–
Пикара для гиперболического уравне
-
ния
(20)
дает в случае
p
1
= 1
[16]
при
α
1
6
= 0
выражение для произво
-
дящей функции
f
(
α
1
,α
2
)
(
s
) =
1
(
α
1
−
1)!
Z
∞
0
x
α
1
−
1
(1
−
e
−
x/μ
+
s e
−
x/μ
)
α
2
e
−
x
dx.
(21)
Пусть
η
(
α
1
,α
2
)
—
число финальных частиц типа
T
2
,
которые останут
-
ся после остановки процесса
.
Производящая функция
(21)
задает рас
-
пределение случайной величины
η
(
α
1
,α
2
)
на состояниях
{
(0
, γ
2
)
, γ
2
=
= 0
, . . . , α
2
}
.
Из
(21)
получаем для среднего и дисперсии
:
M
η
(
α
1
,α
2
)
=
=
c
1
α
2
,
D
η
(
α
1
,α
2
)
c
2
α
2
2
при
α
2
→ ∞
,
где
c
1
>
0
,
c
2
>
0
—
некоторые
константы
.
Случай
α
2
→ ∞
представляет интерес для приложений
:
в
начальный момент времени имелось большое число здоровых особей
и некоторое число больных особей
.
Из
(21)
стандартным методом ха
-
рактеристических функций устанавливается
Теорема
4
[16].
Рассмотрим марковский процесс
,
соответствую
-
щий схеме взаимодействий
T
1
+
T
2
→
T
1
, T
1
→
0
.
Положим
x
2
[0
,
1]
.
Тогда
lim
α
2
→∞
P
n
η
(
α
1
,α
2
)
α
2
≤
x
o
=
F
(
α
1
)
(
x
)
,
(22)
где
F
(
α
1
)
(
x
) =
x
μ
α
1
−
1
X
n
=0
(
−
μ
ln
x
)
n
/n
!
.
Предельные соотношения типа
(22)
называют
“
пороговыми теоре
-
мами
”,
они используются для установления численного значения так
называемого
“
эпидемического порога
”
при распостранении инфекци
-
онных заболеваний
[12].
Методом Монте
-
Карло для схемы взаимодействий
(17)
построены
эмпирические функции распределения
b
F
(
α
1
,α
2
)
n
(
x
)
по выборкам
,
состо
-
ящим из
n
реализаций случайной величины
η
(
α
1
,α
2
)
/α
2
(
линейная по
α
2
нормировка
).
Статистические испытания показали сходимость функ
-
ции
b
F
(
α
1
,α
2
)
n
(
x
)
к некоторой функции распределения при увеличении
n
.
На рис
. 8,
случай
1
,
приведен график функции
F
(3)
(
x
) =
x
μ
(1
−
−
μ
ln
x
+
μ
2
ln
2
x/
2)
при
μ
= 40
.
При значениях параметров
μ
= 40
,
p
2
= 0
и начальных условиях
α
1
= 3
,
α
2
= 200
было проведено
n
= 300
испытаний
.
Эмпирическая функция распределения
b
F
(3
,
200)
300
(
x
)
,
представленная на рис
. 8,
случай
2
,
близка
,
в соответствии с теоремой
4,
к функции распределения
F
(3)
(
x
)
.
Также на рис
. 8
представлены графи
-
ки функции
b
F
(3
,
200)
300
(
x
)
при значениях
:
3
—
p
2
= 0
,
3
;
4
—
p
2
= 0
,
5
;
5
—
p
2
= 0
,
7
и
μ
= 40
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
67
