Вычислим входящие в формулу (48) интегралы:
x
0
ψ
1
(
y
)
dy
=
x
0
p
γ
(
y
;
α
−
2
, β
)
dy
=
F
γ
(
x
;
α
−
2
, β
)
,
(49)
где
F
γ
(
·
)
– интегральный закон гамма-распределенияс параметрами
α
−
2
и
β
,
x
0
e
˜
s
(
x
−
y
)
ψ
1
(
y
)
dy
=
e
˜
sx
Γ(
α
−
2)
x
0
y
α
−
3
e
−
(˜
s
+
β
)
y
dy
=
=
e
˜
sx
x
0
p
γ
(
y
;
α
−
2
, β
+ ˜
s
)
dy
=
e
˜
sx
F
γ
(
x
;
α
−
2
, β
+ ˜
s
)
,
(50)
где
F
γ
(
x
;
α
−
2
, β
+˜
s
)
— функциягамма-распределенияс параметрами
α
−
2
и
β
+ ˜
s
,
x
0
(
x
−
y
)
e
−
β
(
x
−
y
)
ψ
1
(
y
)
dy
=
=
e
−
βx
Γ(
α
−
2)
x
0
(
x
−
y
)
y
α
−
3
e
−
βy
dy
=
e
−
βx
Γ(
α
−
2)
x
0
(
x
−
y
)
y
α
−
3
dy
=
=
e
−
βx
Γ(
α
−
2)
x
0
x
1
−
y
x
x
α
−
3
y
x
α
−
3
xd
y
x
.
Сделав замену переменных
y
x
=
ξ
, получим
x
0
(
x
−
y
)
e
−
β
(
x
−
y
)
ψ
1
(
y
)
dy
=
e
−
βx
Γ(
α
−
2)
1
0
x
α
−
1
(1
−
ξ
)
ξ
α
−
3
dξ
=
=
e
−
βx
x
α
−
1
Γ(
α
−
2)
1
0
(1
−
ξ
)
ξ
α
−
3
dξ.
(51)
Последнее выражение можно преобразовать, воспользовавшись
интегралом Эйлера первого рода [7, гл. 6, п. 140]:
B(
p, q
) =
1
0
t
q
−
1
(1
−
t
)
p
−
1
dt,
(52)
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
