Отметим, что существует один частный случай, когда множествен-
ность решений соотношения (10) устраняется, а именно если
G
0
—
предельно допустимое значение страховой платы, при которой страхо-
ватель еще соглашаетсяна предложение страховой компании о защите
имущества. В этом частном случае нестрогое неравенство (10) обра-
щаетсяв равенство, т. е. имеет место уравнение (9). С учетом данного
замечаниянеобходимую “добавку”
Cψ
(
x
)
в правой части неравенств
(8) и (10) можно интерпретировать как меру “запаса по полезности”,
которую предоставляет страховая компания клиентам прежде, чем у
страхователей возникнут сомненияв целесообразности страхования.
Обычно страховщики, работающие в том или ином сегменте страхово-
го рынка, могут достаточно точно оценить предельное (максимально
допустимое) значение
G
0
, выше которого начнетсяотток клиентов.
Поэтому с точки зрениястраховщика представляет интерес оценка
функции полезности страхователяв некоторой ограниченной окрест-
ности максимально допустимой страховой платы.
Полученное уравнение (11) относитсяк классу неоднородных
интегро-разностных уравнений. Его решение, естественно, можно
найти в виде суммы:
U
(
x
) =
U
0
(
x
) + ∆
U
(
x
)
,
(12)
где
U
0
(
x
)
— решение соответствующего однородного интегро-разност-
ного уравнениявида
U
0
(
x
−
G
0
) =
Y
min
0
U
0
(
x
−
y
)
dF
Y
(
y
)
,
(13)
а
∆
U
(
x
)
— поправка к базовому решению уравнения(13).
Чтобы составить уравнение относительно
∆
U
(
x
)
, подставим вы-
ражение (12) в уравнение (11). Проведянеобходимые сокращенияс
учетом соотношения(13), получим
∆
U
(
x
−
G
0
) =
Y
min
0
∆
U
(
x
−
y
)
dF
Y
(
y
) +
Cψ
(
x
)
.
(14)
Итак, функцияполезности (12) определяетсякак сумма решений
однородного интегро-разностного уравнения(13) и неоднородного
интегро-разностного уравнения(14).
Однородное уравнение (13) будем интерпретировать как условие
вычислениямаксимальной страховой платы
G
0
при условии, что функ-
цияполезности страхователяесть
U
0
(
x
)
. Поскольку значение страхо-
вой платы
G
0
в уравнении (13) не зависит от начального капитала
x
, то
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
