следует, что
¯
F
Y
(
p
)
при больших значениях
p
ведет себякак функ-
ция
1
p
α
, где
α >
1
.
В анализе поведения
¯
F
Y
(
p
)
, а следовательно, всего выражения(29)
можно продвинутьсядальше, если принять дополнительное предполо-
жение, что производнаяоригинала
F
Y
(
x
)
существует в точке
x
= +0
,
причем, естественно, эта производнаяположительна. Применя пре-
дельное соотношение к производной функции
F
Y
(
x
)
, можно записать
lim
p
→∞
p
2
¯
F
Y
(
p
) = lim
x
→
0
F
Y
(
x
) =
A, A >
0
.
(32)
Из формулы (32) следует, что
¯
F
Y
(
p
)
при больших
p
ведет себякак
функция
1
p
2
:
¯
F
Y
(
p
)
≈
A
p
2
.
(33)
Теперь с учетом формулы (33) изображение (29) при больших
p
ведет
себякак
∆ ¯
U
(
p
)
≈
1
e
−
pG
0
−
p
·
A
p
2
·
¯
ψ
(
p
)
.
(34)
Покажем, как можно добитьсяправильности выражения(34) при
больших
p
в частном случае, когда в качестве
ψ
(
x
)
выбрана плотность
гамма-распределениявида
ψ
(
x
) =
p
γ
(
x
;
α, β
) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
0
,
если
x <
0
,
β
α
Γ(
α
)
x
α
−
1
e
−
βx
,
если
x
≥
0
,
(35)
где
α
и
β
— параметры распределения,
α >
0
,
β
> 0.
Изображение по Лапласу оригинала (35) определяется с привлече-
нием формул (28):
¯
ψ
(
p
) =
∞
0
e
−
px
ψ
(
x
)
dx
=
1
Γ(
α
)
∞
0
x
α
−
1
e
−
(
p
+
β
)
x
dx.
Сделав замену переменных
y
= (
p
+
β
)
x
,
dx
=
dy
p
+
β
, получим
¯
ψ
(
p
) =
1
Γ(
α
)
1
(
p
+
β
)
α
∞
0
y
α
−
1
e
−
y
dy
=
Γ(
α
)
Γ(
α
)
β
α
(
p
+
β
)
α
=
β
α
(
p
+
β
)
α
.
(36)
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
