данное обстоятельство позволяет предположить, что
U
0
(
x
)
описывает-
сяэкспоненциальной функцией (характеристическим свойством функ-
ции полезности экспоненциального вида является отсутствие влияния
начального капитала
x
на предпочтениялица, принимающего реше-
ние, в частности на величину предельной страховой платы
G
0
[3,
п. 2.4]). Сказанное позволяет искать решение уравнения (13) в виде
U
0
(
x
)
≈ −
e
sx
,
(15)
где
s
— константа, подлежащаяопределению.
Чтобы функцияполезности (15) отвечала традиционным требова-
ниям, предъявляемым к функциям полезности лица, не склонного к
риску, нужно, чтобы параметр
s
имел вещественное отрицательное
значение [3, п. 2.4]. Подставляя выражение (15) в уравнение (13), по-
лучаем характеристическое уравнение относительно
s
:
−
e
s
(
x
−
G
0
)
=
−
e
sx
Y
min
0
e
−
sy
dF
Y
(
y
)
,
откуда после сокращенияполучаем
e
−
sG
0
=
Y
min
0
e
−
sy
dF
Y
(
y
)
.
(16)
Чтобы доказать существование отрицательного числа
˜
s
, обращаю-
щего в тождество равенство (16), а также определить условиясуще-
ствованиятакого числа, исследуем поведение левой и правой частей
равенства в области
s
≤
0
.
Отметим сначала, что точка
s
= 0
всегда является простым корнем
уравнения(16). Действительно, леваячасть уравнения(16) равна 1
при
s
= 0
. Вычислим
lim
s
→
0
Y
min
0
e
−
sy
dF
Y
(
y
) =
Y
min
0
dF
Y
(
y
) =
F
Y
(
Y
min
)
−
F
Y
(0)
.
(17)
Поскольку возможный ущерб
Y
является неотрицательной величи-
ной, то с учетом непрерывности функции
F
Y
(
y
)
слева естественно
принять
F
Y
(0) = 0
. С учетом свойства (4) функций распределения
имеем
F
Y
(
Y
min
) = 1
и формула (17) принимает вид
lim
s
→
0
Y
min
0
e
−
sy
dF
Y
(
y
) =1
.
(18)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
83
