лями знаменателя, совпадают с корнями характеристического урав-
нения(16). Чтобы доказать это, преобразуем правую часть уравне-
ния(16), заменив в ней
s
на
p
. Имеем
∞
0
e
−
py
dF
Y
(
y
) =
e
−
py
F
Y
(
y
)
∞
0
+
p
∞
0
e
−
py
F
Y
(
y
)
dy.
(30)
При Re
p >
0
первое слагаемое в формуле (30) обращаетсяв нуль,
второе слагаемое в силу формул преобразованияЛапласа (28) равно
p
¯
F
Y
(
p
)
. Таким образом, уравнение
e
−
pG
0
−
p
¯
F
Y
(
p
) = 0
(31)
с точностью до обозначенияпеременной совпадает с характеристиче-
ским уравнением (16). Выше было установлено, что корнями уравне-
ния (31) являются, во-первых,
p
= 0
, во-вторых, некотораявеществен-
наяотрицательнаявеличина
p
= ˜
s
.
Сложности обращения(29) состоят, во-первых, в том, что данное
выражение не является дробно-рациональной функцией, а относится к
классу так называемых мероморфных функций, т. е. таких аналитиче-
ских функций, которые в качестве особенностей имеют только полю-
сы, причем их число конечно в любой ограниченной области [6], во-
вторых, операционист обычно располагает только графическим изо-
бражением функции распределения
F
Y
(
y
)
, но не имеет аналитического
выраженияего изображенияпо Лапласу
¯
F
Y
(
p
)
. Поэтому при опери-
ровании выражением
¯
F
Y
(
p
)
предполагается, что оно определено ин-
тегральным преобразованием (28), реализуемым средствами компью-
терного моделирования. Чтобы воспользоваться теоремой разложения
оригинала при обращении такого рода изображений, следует убедить-
сяв его правильности в правой полуплоскости комплексного перемен-
ного
p
(
Re
p
≥
0)
: данное изображение убывает при
|
p
| → ∞
не мед-
леннее, чем
1
p
. В рассматриваемом случае правильность изображения
(29) может быть достигнута только за счет соответствующего выбора
его оригинала
ψ
(
p
)
, поскольку сомножитель
(
e
−
pG
0
−
p
¯
F
Y
(
p
))
−
1
при
p
→ ∞
стремитсяк бесконечности. Действительно,
lim
p
→∞
e
−
pG
0
= 0
, и
по теореме о предельных значениях оригинала
lim
p
→∞
p
¯
F
Y
(
p
) = lim
x
→
0
F
Y
(
x
) =
F
y
(0) = 0
,
откуда и следует высказанное утверждение.
Из предельного соотношения
lim
p
→∞
p
¯
F
Y
(
p
) = lim
x
→
0
F
Y
(
x
) = 0
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
87
