ξ
s
0
,T
−
λ
s
0
λ
s
0
, . . . ,
ξ
s
0
+
r
−
1
,T
−
λ
s
0
+
r
−
1
λ
s
0
+
r
−
1
,
˜
ξ
s
0
+
r,T
−
˜
λ
s
0
+
r
˜
λ
s
0
+
r
асимптотически независимы в совокупности и одинаково распределе-
ны в пределе по стандартному нормальному закону.
Замечание 4.
Условия следствия 2 выполнены, если, например,
K
= 1
и
s
0
=
−
ln
T
−
ln ln
T
ln
q
+
O
(1)
, T
→ ∞
.
Заключение.
Обратимся к схеме плотного вложения [13, 14].
Пусть знаки
x
i
, . . . , x
i
+
l
+
s
−
1
образуют
f
-рекуррентную цепочку. Пусть
y
1
, y
2
, . . .
— последовательность знаков алфавита
A
N
. Согласно ра-
боте [14], знаки
x
i
, . . . , x
i
+
l
+
s
−
1
плотно вкладываются в последова-
тельность
y
1
, y
2
, . . .
, начиная с места
j
0
≥
1
, если существуют такие
числа
j
0
< j
1
< j
2
< . . . < j
s
+
l
−
1
,
j
u
−
j
u
−
1
2 {
1
,
2
}
, u
= 1
,
2
, . . . , s
+
l
−
1
,
что
y
j
u
=
x
i
+
u
, u
= 0
,
1
,
2
, . . . , s
+
l
−
1
.
Это означает, что
y
j
l
+
k
=
f
(
y
j
k
, y
j
k
+1
, . . . , y
j
l
+
k
−
1
)
, k
= 0
,
1
,
2
, s
−
1
.
(14)
Рассмотрим набор
F
функций
g
вида
g
(
y
1
, . . . , y
2
l
−
1
)=
f
(
y
j
1
, . . . , y
j
l
)
,
где
1
≤
j
1
< j
2
< . . . < j
l
≤
2
l
−
1
,
j
u
−
j
u
−
1
2 {
1
,
2
}
,
u
= 2
,
3
, . . . , l
.
Тогда равенство (14) перепишется в виде
y
j
l
+
k
=
g
(
y
j
l
+
k
−
2
l
+1
, . . . , y
j
l
+
k
−
1
)
, k
= 0
,
1
,
2
, s
−
1
, g
2
F.
Таким образом, знаки
y
j
0
, . . . , y
j
s
образуют плотную
F
-рекуррентную
цепочку.
Задача о свойствах распределений чисел плотных
F
-рекуррентных
серий и цепочек рассматривается впервые. Она представляет инте-
рес в связи с возможным применением этих статистик при проверке
гипотез о свойствах случайных последовательностей. Например, для
проверки основной гипотезы о том, что наблюдается последователь-
ность независимых случайных величин с одинаковым равновероят-
ным полиномиальным распределением, против альтернативы о том,
что наблюдаемая последовательность получена как результат плотно-
го вложения отрезков двух рекуррентных последовательностей.
В настоящей работе с помощью функционального варианта мето-
да Чена – Стейна получена многомерная предельная теорема Пуассона
для вектора из чисел плотных
F
-рекуррентных серий заданных длин
с оценками скорости сходимости (в метрике расстояния по вариации).
Из этих оценок также выведена теорема пуассоновского типа для чи-
сла плотных
F
-рекуррентных цепочек.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
23
