довательности независимых случайных величин с оценками скорости
сходимости.
Пусть
ξ
1
, . . . , ξ
r
— неотрицательные целочисленные случайные ве-
личины. Многомерная предельная теорема Пуассона указывает усло-
вия, при которых для всех
k
1
, . . . , k
r
2 {
0
,
1
, . . .
}
:
P
{
ξ
1
=
k
1
, . . . , ξ
r
=
k
r
} →
r
Y
s
=1
λ
k
s
s
k
s
!
e
−
λ
s
,
где
λ
1
, . . . , λ
r
>
0
— параметры предельного пуассоновского распре-
деления.
В работе [1] с помощью многомерной теоремы Севастьянова [5, 6]
была доказана предельная теорема пуассоновского типа для чисел
f
-рекуррентных
s
-цепочек, а также для ряда связанных с ними слу-
чайных величин. В работе [7] распределения этих случайных величин
были исследованы с использованием многомерного варианта мето-
да Чена – Стейна [8–11]. Преимущество этого метода по сравнению с
большинством классических методов доказательства предельных тео-
рем пуассоновского типа для сумм зависимых случайных индикаторов
заключается в том, что он позволяет получить оценки скорости схо-
димости в предельных теоремах. Для этого достаточно оценок для
смешанных моментов второго порядка величин из набора случайных
индикаторов (в отличие от других известных методов). Полученные
оценки в некоторых случаях позволяют доказать асимптотическую
нормальность (как результат сближения с пуассоновским распреде-
лением с возрастающим параметром).
Оценки и предельные теоремы.
Пусть
E
t
=
{
X
t
=
f
(
X
t
−
l
, . . . , X
t
−
1
)
, f
2
F
}
, t
= 1
,
2
, . . .
Тогда плотной
F
-рекуррентной цепочке в последовательности
X
1
, X
2
, . . . , X
T
, . . .
соответствует плотная цепочка из единиц в по-
следовательности
I
{
E
l
}
, I
{
E
l
+1
}
, . . .
[2, 3].
Если в последовательности индикаторов
I
{
E
l
}
, I
{
E
l
+1
}
, . . .
воз-
никает плотная цепочка из единиц (плотная 1-цепочка), то на ка-
ждом ее конце будет не более чем по одному нулю. Если к такой
плотной 1-цепочке (с нулями на концах) приписать еще по одно-
му нулю с двух сторон, то ее нельзя продлить ни в одну сторо-
ну. Эту цепочку принято называть плотной 1-серией [2, 3]. Поэто-
му будем утверждать, что знаки
X
i
−
2
, . . . , X
i
+
l
+
s
+1
образуют плотную
F
-рекуррентную серию длиной
s
, если знаки
X
i
−
1
, . . . , X
i
+
l
+
s
образу-
ют плотную
F
-рекуррентную цепочку наибольшей длины, лежащую
внутри отрезка
X
i
−
2
, . . . , X
i
+
l
+
s
+1
. Началом серии будем называть знак
X
i
+
l
, а концом — знак
X
i
+
l
+
s
−
1
. Плотной
F
-рекуррентной серии дли-
ной
s
, образованной знаками
X
i
−
2
, . . . , X
i
+
l
+
s
+1
, соответствует плот-
ная 1-серия длиной
s
, сформированная случайными индикаторами
I
{
E
i
+
l
−
2
}
, I
{
E
i
+
l
−
1
}
, . . . , I
{
E
i
+
l
+
s
+1
}
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
13
