λ
s
0
, λ
s
0
+1
, . . . , λ
s
0
+
r
−
1
,
˜
λ
s
0
+
r
соответственно, т.е. при
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
:
P
{
π
s
0
+
k
=
n
}
=
λ
n
s
0
+
k
n
!
e
−
λ
s
0 +
k
, n
= 0
,
1
,
2
, . . .
Распределение вектора
Π
принято называть сопровождающим пуассо-
новским распределением для вектора
Ξ
.
Через
ρ
(
X, Y
)
обозначим расстояние по вариации между распре-
делениями случайных величин
X
и
Y
[12]. Для случайных величин
X
и
Y
, принимающих значения из счетного множества
C
, оно определя-
ется по формуле
ρ
(
X, Y
) =
1
2
X
c
2C
|
P
{
X
=
c
} −
P
{
Y
=
c
}|
.
Теорема 1.
При
1
≤
l < s
0
, r
≥
1
, N
≥
2
ρ
(Ξ
,
Π) = 2
T
˜
p
s
0
((
l
+
s
0
+
r
+ 2
,
5)˜
p
s
0
+ (
l
+ 2)
Q
s
0
−
l,r
)
.
(2)
Замечание 1.
Теорема 1 содержит как частный случай теорему,
приведенную в работе [7], в которой была получена оценка для вектора
из чисел сплошных
f
-рекуррентных серий. Оценка, данная в работе
[7], незначительно отличается от оценки (2) вследствие некоторых
различий в доказательстве.
Замечание 2.
Частный случай теоремы 1 — оценка, приведенная в
работе [2] (формула (8)) для плотных
a
-серий. Оценка (2) несколько
лучше. Это объясняется тем, что в работе [2] метод Чена – Стейна при-
менялся для вывода оценки для вектора
(
ξ
s
0
,T
, ξ
s
0
+1
,T
, . . . , ξ
s
0
+
r
−
1
,T
)
,
а затем из нее получали оценку для вектора
Ξ =
ξ
s
0
,T
, ξ
s
0
+1
,T
, . . .
. . . , ξ
s
0
+
r
−
1
,T
,
˜
ξ
s
0
+
r,T
. В настоящей работе метод Чена – Стейна ис-
пользован для вектора
Ξ
.
Обозначим через
η
s,T
число плотных
F
-рекуррентных цепочек дли-
ной
s
, которые начались до момента
T
.
Теорема 2.
Пусть
1
≤
l < s
0
, r
≥
1
, N
≥
2
,
и
T, s
0
→ ∞
так,
что
λ
s
0
+
k
→
λ
k
2
(0
,
∞
)
, k
= 0
,
1
, . . . , r
−
1;
(3)
˜
λ
s
0
+
r
→
˜
λ
r
2
(0
,
∞
)
, Q
s
0
−
l,r
→
0
.
(4)
Тогда
1)
случайные величины
ξ
s
0
,T
, ξ
s
0
+1
,T
, . . . , ξ
s
0
+
r
−
1
,T
,
˜
ξ
s
0
+
r,T
асимпто-
тически независимы в совокупности и распределены в пределе по за-
кону Пуассона с параметрами
λ
0
, λ
1
, . . . , λ
r
−
1
,
˜
λ
r
соответственно
;
2)
распределение случайной величины
η
s
0
,T
совпадает в пределе с
распределением выражения
∞
X
j
=0
(
j
+ 1)
π
j
, где
π
0
, . . . , π
m
, . . .
— неза-
висимые случайные величины, распределенные по закону Пуассона с
параметрами
λ
−
2
, λ
−
1
, λ
0
, . . . , λ
m
, . . .
соответственно.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
15
