Предельные теоремы для числа плотных F-рекуррентных серий и цепочек в последовательности независимых случайных величин - page 8

+
i+l +s+3 X
j =i+1
P{Bi,s ˜
Bj,s0 +r }! +
+
s0+r−1 X
s0=s0
i+l+s0+r+1 X
j =i+1
P { ˜
Bi,s 0+r Bj,s0 } +
i+l+s0+r+1 X
j =i+1
P{ ˜
Bi,s 0+r ˜
Bj,s0 +r }!.
При ( j, s0 ) 2 O (i, s) = O(i, s) , s0 ≤ s, s0 ≤ s0 + r − 1, j > i,
события Bi,s и Bj,s0 совместны, если
j = i + s + 2, i + s + 3, . . . , i + s + l + 3
и произведение событий Bi,s Bj,s0 означает, что знаки Xi−2 , Xi−1 , . . .
. . . , Xi+s+1 и Xj−2 , Xj −1 , . . . , Xj +s0 +1 образуют плотные F -рекуррентные
цепочки. Используя обозначения, введенные ранее, запишем
Bi,s Bj,s0 Bi,s   [
b1,...,b s−2
E1
j +l E b1
j +l +1 . . . E bs0 −2
j +l +s0 −2E 1
j +l+s0−1  
Bi,s   [
bi−j +l +s+2,...,b s0 −2
Ebi−j +l +s+2
i+2l +s+2 . . . E bs0 −2
j +l +s0 −2 E1
j +l +s0 −1 
Bi,s   [
a1,...,a s0 −l
Ea1
i+2l +s+2 . . . E a s0 −l
i+s+2+ l+s0−1  ,
где 1 2 {bi, b i+1 }, i = 1, 2, . . . , 1 2 { ai, a i+1}, i = 1, 2, . . .
Поскольку событие Bi,s определяется случайными величинами
Xi−2 , . . . , Xi+s+1, а произведение событий E a1
i+2l+s+2 . . . E a s0 −l
i+s+2+l +s0 −1
— случайными величинами Xi+s+l +2, . . . , Xi+s+1+ l+s0 , в силу однород-
ности последовательности X1 , . . . , XT , . . . можем написать оценку:
P{Bi,s Bj,s0 } ≤ P{B1,s }P   [
a1,...,as0 −l
E a1
i+2l+s+2 . . . E a s0 −l
i+s+2+l +s0 −1 =
= psP   [
a1,...,a s0 −l
Ea1
1 . . . E a s0 −l
s0 −l  = ps qs0−l ,
где объединение ведется по всем числам a1 , . . . , a s0 −l 2 {0, 1}, 1 2
2 { ai, ai+1 }, i = 1, 2, . . . , s0 − l − 1.
Аналогично можно показать, что при j = i + s +2 , i + s+3 , . . . , i +
+ s + l + 3
P{Bi,s ˜
Bj,s0+r } ≤ ps qs0+r−l ;
18 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3