где комплексные функции
u
(
t
)
,
h
(
t
)
,
e
(
t
)
удовлетворяют линейной си-
стеме ОДУ с постоянными коэффициентами, получающейся подста-
новкой (5) в (4):
du
dt
=
iκH
x
4
πρ
h
;
1
c
dh
dt
=
κe
;
e
=
iH
x
c
u
+
iκ
Λv
A
ω
p
h
1 +
κc
ω
p
2
!
.
(6)
Здесь
Λ =
p
λ
+
/
λ
−
−
p
λ
−
/
λ
+
,
v
A
=
H
x
√
4
πρ
— альфвеновская ско-
рость;
ω
p
=
p
4
πρ
/(
λ
+
λ
−
)
— плазменная частота. Решение системы
(6) имеет вид
u
(
t
) =
C
1
e
iω
+
t
+
C
2
e
iω
−
t
;
h
(
t
) =
(4
πρ
)
1
/
2
κ
v
A
{
C
1
ω
+
e
iω
+
t
+
C
2
ω
−
e
iω
−
t
}
;
(7)
e
(
t
) =
i
1 +
r
2
H
x
c
+ Λ
p
λ
+
λ
−
ω
+
C
1
e
iω
+
t
+
+
H
x
c
+ Λ
p
λ
+
λ
−
ω
−
C
2
e
iω
−
t
;
j
(
t
) =
−
κc
4
π
h
(
t
)
,
где
C
1
,
C
2
– произвольные комплексные константы, а частоты
ω
±
вы-
числяются по формуле
ω
±
=
κ
v
A
2
(
r
Λ
1 +
r
2
±
r
2
Λ
2
(1 +
r
2
)
2
+
4
1 +
r
2
1
/
2
)
, r
=
κc
ω
p
.
(8)
Подставляя (7) в (5), заключаем что плоские альфвеновские волны
суть поперечные колебания однородной неподвижной плазмы, являю-
щиеся суперпозицией синусоидальных бегущих вдоль и против маг-
нитного поля волн с фазовыми скоростями
−
ω
±
(
κ
)/
κ
, зависящими от
длины волны
`
= 2
π
/
κ
. Из (8) следует, что волна, бегущая против
магнитного поля, имеет б´ольшую по абсолютной величине фазовую
скорость. В МГД-пределе
r
1
имеем
ω
±
(
κ
)
±
κ
v
A
и полученное
решение переходит в классическую альфвеновскую волну [2]. В ко-
ротковолновом пределе
r
1
имеем
ω
±
=
±
ω
c
, где
ω
±
c
=
H
x
/(
λ
±
c
)
— циклотронные частоты; в частности, с уменьшением длины волны
фазовые скорости альфвеновских бегущих волн стремятся к нулю с
асимптотикой
ω
c
/
κ
,
κ
→
+
∞
.
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
