2 / 17
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
как конструкционного материала обычно совмещен по времени c изготовлени-
ем конструкции из этого материала [4, 5]. Достаточно часто применяемыми во-
локнистыми композитами являются однонаправленные композиты. Структура
однонаправленного волокнистого композита состоит из одинаково ориентиро-
ванных в пространстве сравнительно длинных армирующих волокон, располо-
женных в отвержденном связующем, которое образует матрицу композита.
Подбор свойств волокон и материала матрицы позволяет увеличить диапазон
возможного изменения характеристик волокнистых композитов и тем самым
расширить область применения композита. Для теплонапряженных конструк-
ций, подверженных интенсивным механическим и тепловым воздействиям,
кроме механических характеристик важны и теплофизические характеристики
конструкционного материала (в том числе его теплопроводность) [6].
Однонаправленный волокнистый композит по отношению к теплопровод-
ности является анизотропным материалом, характеризуемым тензором второго
ранга эффективной теплопроводности. Компоненты этого тензора зависят от
параметров, которые входят в математическую модель теплового взаимодей-
ствия волокон и матрицы в таком композите. Существуют различные подходы к
построению модели [7–11], позволяющие получить расчетные зависимости для
количественной оценки компонент тензора эффективной теплопроводности
однонаправленного волокнистого композита.
Используемый в настоящей работе вариационный подход основан на мо-
дификации двойственной вариационной формулировки задачи установившейся
теплопроводности в неоднородном анизотропном твердом теле [12]. Эта фор-
мулировка включает в себя два альтернативных функционала (минимизируе-
мый и максимизируемый), достигающих на истинном решении задачи совпада-
ющих экстремальных значений. Значение минимизируемого функционала на
любом из приближенных решений задачи будет не меньше, чем на истинном, а
значение максимизируемого — не больше, чем на истинном решении. Такое
свойство двойственной вариационной формулировки задачи позволяет устано-
вить двусторонние границы возможных значений компонент тензора эффек-
тивной теплопроводности рассматриваемого композита как неоднородного
анизотропного твердого тела и оценить наибольшую погрешность, если каждую
искомую компоненту приравнять полусумме установленных граничных значе-
ний. Вариационный подход реализован в настоящей работе путем рассмотрения
представительного элемента структуры композита, отражающего свойства ком-
позита и учитывающего взаимное расположение армирующих волокон.
Основные соотношения.
Пусть однонаправленный волокнистый композит
занимает односвязную область
V
, в которой отсутствуют объемные источники
(или стоки) тепловой энергии. Тогда установившееся распределение температу-
ры
( ),
T M
,
M V
зависящее от положения точки
M
в области
,
V
будет удовле-
творять дифференциальному уравнению [13]: