1 / 16 Next Page
Information
Show Menu
1 / 16 Next Page
Page Background

16

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

УДК 519.21

DOI: 10.18698/1812-3368-2016-6-16-31

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

В ПОЛУПЛОСКОСТИ С ПЕРЕСКОКОМ ГРАНИЦЫ

А.В. Калинкин

kalinkin@bmstu.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Ключевые слова

Ранее автором настоящей статьи были получены анали-

тические выражения для вероятностей достижения

границы случайным блужданием на целочисленных

точках полуплоскости и вероятностей перескока грани-

цы. В данной работе для установленных вероятностных

распределений найдены асимптотические приближения,

представляющие интерес для приложений. Предельные

теоремы в докритическом и надкритическом случаях

приводят к нормальному закону для точки выхода или

точки перескока за границу — при условии, что оста-

новка случайного блуждания произошла. В критическом

случае асимптотическое приближение отлично от нор-

мального закона — получено устойчивое распределение

с показателем

=1/ 2.

Предельные теоремы обобщают

известный частный случай, когда перескока через гра-

ницу полуплоскости нет. Для вывода предельных теорем

использован метод характеристических функций и

метод преобразования Лапласа

Вероятность остановки слу-

чайного блуждания, производя-

щие функции, предельные тео-

ремы, метод характеристи-

ческих функций

Поступила в редакцию 15.04.2016

©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016

Случайное блуждание на целочисленных точках полуплоскости.

На множе-

стве состояний

0

0

= {( , ),

= , 1, 0, 1, , = 0, 1, }

Z N

    

  

рассмотрим од-

нородное случайное блуждание

0

( , ), = 0, 1,

n n

S S n

[1]. Переходные вероятности

за

n

шагов обозначим

( , )

0

0

0

0

0

0

0

( , ) 0

( ) = {( , ) = ( , )|( , ) = ( , )}.

n n

P n S S

S S

 

 

 

 

P

Пусть пере-

ходные вероятности за один шаг равны,

=1, 2, ,

k

0 0

0

0

1

0

0

,

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

{( ,

) = ( , ) | ( , ) = ( , )} =

,

если

и ,

0;

{( ,

) = ( , ) | ( , ) = ( , )} = 0, если < ;

{( ,

) = ( , ) | ( , ) = ( , )} =1, если < .

n

n n

k

n

n

n n

n

n

n n

n

S S

S S

p

k

k

S S

S S

S S

S S

k

     

 

 

 

 

        

 

 

 

 

 

P

P

P

Здесь задано распределение вероятностей

2

0

0

0

0

, = 0 0

0, ( , )

;

=1,

= 0 .

k

p

N p

p

 

 

 

   