Previous Page  12 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 12 / 16 Next Page
Page Background

Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

27

0

= = 0.

 

Обозначим

L

S

такую решетку целочисленных точек, которая содер-

жит множество

S

и не содержит никакой подрешетки, удовлетворяющей этому

же свойству. Координаты всех точек решетки

L

S

можно получить, составляя

всевозможные линейные комбинации с целыми коэффициентами из координат

точек множества

.

S

Свойства такой решетки исследованы в работе [3].

Если на распределение вероятностей

0

{ }

p

 

наложены условия теоремы 1,

то решетка

L

S

двумерна, в ее основании лежит параллелограмм площадью

,

d

причем

d

— целое число. Решетка

L

S

характеризует множество состояний

2

0

( , )

N

  

таких, что

0

(0, )

0

( , )

( ) > 0

k

P n

 

при некотором

0

< .

n

Очевидно, если

0

( , )

,

L

S

  

то

0

(0, )

( , )

( ) 0.

k

P n

 

Обозначим

l

минимальное число

0

такое, что

0

(0, )

0

( , )

( ) > 0

k

P n

 

при некотором

0

<

n

( = 0, ,

1

k

). Такое

l

существует, так как

в противном случае вероятность

(0, )

( , )

=0

=

= 0,

k

k

n

n

q

q

чего быть не может по усло-

виям (3). Нетрудно заключить, при фиксированном

, что

L

S

принадлежат

только точки вида

(

, ),

l

md

 

= 0, 1, 2,

m

 

Достижимыми из состояния

(0, )

k

являются точки остановки вида

(

, ),

l md

 

= 0,1, 2, ,

m

и производящая

функция вероятностей остановки имеет вид,

1,

u

(0, )

(

, )

=0

( ) =

,

= 0, ,

1.

l md

k

k

l

md

m

u q

u

k

 

Теорема 5.

Пусть выполнены условия теоремы 1. Примем

2

0

= , =

= , =

2

( , )

( , )

=

|

,

=

|

;

u r s R

u r s R

h u s

h u s

A

B

u

s

1

2

1

1

=1,

= ( )

( );

k

k

k

r

r

   

 

1

3 1

2

2

1

0

1

1

= ( ) ( )

( ) ( ),

,

=( 1)

( )

( ).

k

k

k

k

k

r r

r

r

r

r

    

  

При

n

 

1/2

0

3/2

5/2

(0, )

2

( , )

(

),

(mod );

=

2

( 1)

0,

(mod ).

n

n

k

k

n

A r

d

r n O r n

n l

d

q

B k k R

n l

d

 

 

 

  

(27)

Следствие 1.

В критическом случае, когда

=1, =1

( , )

=

|

=

u s

h u s

A

k

s

, при

n

 

0

3/2

5/2

(0, )

( , )

(

),

(mod );

=

2

( 1)

0,

(mod ).

k

n

A

d

n O n

n l

d

q

B k k

n l

d

  

(28)