Previous Page  8 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 8 / 16 Next Page
Page Background

Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

23

Функция

0

( )

u

аналитическая в области

| |< ,

u r

>1,

r

поэтому

0

0

1

( ) = (1) = ;

lim

u

u

a

 

0

0

1

( ) = ,

lim

u

C u C

константа

0

C

используется в (16). Функции

( )

l

C u

не имеют особых точек на интервале

(1 ,1),

 

что видно из представле-

ния (10) для функции

( );

u



на этом интервале конечны

( ) .

l

dC u

du

Тогда с уче-

том того, что

0

0

(1) = =1

q

и

0

= (1),

q C o



,



имеем

1

0

1

0

1

=1

0

(1)

1

1

|

< =

=

lim

lim

( )

1

1

( )

1

( )

( ) ( ) ( )

( )

.

lim lim

k

l

l

l

l

l

u

l

q

dC u

dC u

a

u

u u C u

u

du

du

C



 



 



  



  

 

  

 

M

При

  

выражение в квадратных скобках стремится к нулю равномерно

на

(1 , 1),

 

так как при таких

u

0

| ( )| 1

u

 

и

| ( ) |<1,

l

u

=1, ,

1.

l

k

Таким об-

разом,

1

1

1

[ ] =

[ ] = = lim0 0,

lim lim

lim lim

u

u

u

 

 

 

что завершает вывод соотноше-

ния (20).

Аналогично выводят соотношение (21) с использованием выражений (19),

(9) и асимптотик (16), (20).

Теорема 2.

Пусть выполнены условия теоремы 1. В докритическом случае,

при фиксированном

( , ),

x

  

2

/2

1

|

< =

,

lim

2

x y

a x

e dy









   

  

 

P

где a и

2

определены выше.

Применим метод характеристических функций [10]. Покажем, что характе-

ристическая функция для нормированной случайной величины,

( , ),

t

  

ˆ ( ) = exp

<

a

t

it







  

 

  

M

стремится при

  

к функции

2

/2

,

t

e

являющейся характеристической

функцией стандартного нормального распределения [11]. Имеем

/

/(

)

1

ˆ ( ) =

(

)

ita

it

t

e

e

q



  

 





и из явного представления (9) следует

1

/

/(

)

/(

)

=0

1

ˆ ( ) =

(

) (

).

k

ita

it

it

l

l

l

t

e

C e

e

q

  

    



