Previous Page  7 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 16 Next Page
Page Background

А.В. Калинкин

22

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

0

0

(1) = <1)

q

[3, 9]. В докритическом и критическом случаях

1

=0

=1,

k

q



т. е. слу-

чайное блуждание остановится с вероятностью

1,

в надкритическом случае

1

=0

<1.

k

q



Докритический случай.

Функция

0

( )

u

аналитическая в области

| |< ,

u r

>1.

r

Вычислим

0

= (1)

a



и

2

2

0

0

0

= (1)

(1) ( (1)) .



    

Обозначим

0

=1, =1

=1, =1

( , )

( , )

=

|

,

=

|

,

u s

u s

h u s

h u s

A

A

u

s

2

2

2

00

=1, =1

0

=1, =1

=1, =1

2

2

( , )

( , )

( , )

=

|

,

=

|

,

=

|

.

u s

u s

u s

h u s

h u s

h u s

B

B

B

u

u s

s

 

Дифференцируя (5), в котором

0

= ( ),

s

u

по

u

в точке

=1,

u

=1,

s

и учиты-

вая

0

0

(1) = =1,

q

имеем

0

0

0

(1)

(1) = 0;

A A k

   

2

2

00

0 0

0

0

0

0

2 (1) ( (1))

(1) ( 1)( (1))

(1) = 0,

B B

A k k

k





          

откуда получаем

0

0

2

2

00

0 0

0

0

0

2

2

3

2

= (1) = < ;

2

(

( 1))

=

< .

(

)

(

)

(

)

A

a

k A

B

B A B k k A A A

k A k A

k A k A k A



 

 

Лемма 4.

Пусть выполнены условия теоремы 1. В докритическом случае

{ |

< } = (1 (1)),

;

a o

 

    

 

M

(20)

2

{ |

< } = (1 (1)),

.

o

 

     



D

(21)

В докритическом случае производящая функция (2) аналитическая в об-

ласти

| |< ,

u r

>1,

r

поэтому конечны математическое ожидание и дисперсия,

соответствующие распределению (17). При использовании выражения (9) в вы-

числении математического ожидания по формуле (18), следует учесть, что точка

=1

u

может быть особой для некоторых из функций

( ),

l

u

=1, ,

1.

l

k

Суще-

ствует интервал

(1 ,1),

 

> 0,

не содержащий точек, которые являются осо-

быми для функций

( ),

l

u

=1, ,

1;

l

k

используем равенство

1

0

1

0

0

0

0

1

1

=0

1

1

=1

( )

(1) =

( ) ( ) =

( ) ( ) ( )

( )

lim

lim

( )

( ) ( ) ( )

( )

< .

k

l

l

u

u

l

k

l

l

l

l

l

l

dC u

u C u

u u C u u

du

dC u

u u C u u

du







 

 

  

 



