Previous Page  11 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 16 Next Page
Page Background

А.В. Калинкин

26

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

0

0

1

0

0 0

2

00

0 0

0

2

1

1

2

1

3

0

0

0

0

0

0

2

0

0

1

2

1

2

0 0

0 0

(1)

= =

< ;

(

)

2

(

( 1))

=

(

)

(

)

(

)

< .

(

)

(

)

k

k

k

k

k

k

A

a

q q kq A

B

B A B k k A

q kq A q kq A q kq A

A

A

q kq A q kq A



 

Лемма 5.

Пусть выполнены условия теоремы 1. В надкритическом случае

|

< = (1 (1)),

;

a o

 

    



M

2

|

< = (1 (1)),

.

o

 

     



D

Доказательство аналогично доказательству леммы 4.

Теорема 4.

Пусть выполнены условия теоремы 1. В надкритическом случае,

при фиксированном

( , ),

x

  

2

/2

1

|

< =

,

lim

2

x

y

a x

e dy









   

  

 

P

где

a

и

2

определены выше.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

Теорема об асимптотических свойствах вероятностей остановки.

В тео-

рии случайных блужданий представляет интерес асимптотическая формула для

(0, )

( , )

k

n

q

при

n

 

[1, 3, 4]. Вероятности остановки выражают через интеграл

(0, )

( , )

1

0

1=

( )

,

= 0, ,

1,

2

k

k

n

n

du

q

u

k

i

u

(25)

где согласно представлению (10) (ср. формулы Виета),

, 1

0

1

,

2

0

1

2

1

, 3

0

1

2

3

2

1

( ) = ( )

( );

( ) = ( ) ( )

( ) ( );

( ) = ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( );

.....................................................................................

k k

k

k k

k

k

k k

k

k

k

u u

u

u

u u

u u

u u u u

u u u

   

    

      

2

1

0

1

2

1

2

1

1

0

0

1

1

...................

( ) = ( 1) ( ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ));

( ) = ( 1)

( ) ( )

( ).

k

k

k

k

k

k

k

u

u u

u

u u

u

u

u u

u

        

   

 

(26)

Для формулировки теоремы 5 опишем вид производящих функций

( ),

k

u

определяемый достижимостью из начального состояния

(0, )

k

точек остановки

случайного блуждания

0

( , ).

n n

S S

Обозначим через

S

множество всех точек плос-

кости с целочисленными координатами

0

( , ),

 

для которых

0

>0 ,

k

p

 

или