Previous Page  10 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 16 Next Page
Page Background

Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

25

1

2

2

=0

0

0

1

( 1)

( 1)

( ) =

exp

exp

.

k

l

l

l

B k k

B k k

C

q

A

A





 

 

 

 





 

 

При

  

выражение в круглых скобках стремится к

1.

При значениях

u

,

близких к

1,

| ( ) |<1,

l

u

так как

0

0

(1) = < = (1) =1,

l

l

q q

=1, ,

1.

l

k

Учитывая

также (16) при

0

=1,

q

получаем, что предел

( )

lim





 

равен пределу

0

2

0

( 1) .

exp

lim

B k k

A



 



 

(22)

Согласно лемме 3, представим функцию

0

( )

u

в виде (в критическом случае

=1,

r

0

= (1) =1

R

),

1,

u

1/2

3/2

0

1

2

( ) =1 ( 1)

( 1) (( 1) )

u c u

c u O u

      

(23)

и найдем коэффициент

1

,

c

который определяют из (15) и обращения ряда

2

2

2

=1

=1 2

0

1

( 1)

1= ( 1) |

( 1)

|

=

( 1)

2

2

s

s

du

d u

B k k

u s

s

s

ds

ds

A

 

 

 

 

 

(24)

Выражая в

1/2

1

2

1= ( 1)

( 1)

s

c u

c u

   

разность

1

u

с помощью (24),

имеем

1

0

= 2 /(

( 1)).

c i A B k k

 

Используя (23), получаем для предела (22) вы-

ражение

1

2

0

( 1)

exp

exp

1 = exp 2 .

lim

B k k

c

A



 



 

 

 

Надкритический случай.

Далее потребуются величины

0

0

= (1) /

a

q



и

2

2

0

0 0

0

0

0

= (1) /

(1) /

( (1) / ) .

q

q

q





 



 

Обозначим

0

=1, =

=1, =

0

0

( , )

( , )

=

|

,

=

|

;

u s q

u s q

h u s

h u s

A

A

u

s

2

2

2

00

=1, =

0

=1, =

=1, =

0

0

0

2

2

( , )

( , )

( , )

=

|

,

=

|

,

=

|

.

u s q

u s q

u s q

h u s

h u s

h u s

B

B

B

u

u s

s

 

После дифференцирования (5), в котором

0

= ( ),

s

u

по

u

в точке

=1,

u

0

= ,

s q

и учитывая

0

0

(1) = ,

q

имеем

1

0

0

0

0

(1)

(1) = 0;

k

A A k q

   

 

2

2 2

1

00

0 0

0

0

0

0

0

0

2 (1) ( (1))

(1) ( 1)( (1))

(1)

= 0,

k

k

B B

B

A k k

q k q





        

 

откуда получаем