Previous Page  5 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 16 Next Page
Page Background

А.В. Калинкин

20

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

0

0 0

0

( )

( ).

k

p u u u

 

 

 

(12)

Поскольку по первому из условий (3)

(1, 0) > 0

h

, то

0

( ) > 0,

u

0 < 1,

u

и

из (12) следует

0

1/( )

0

0

( ) (

)

.

k

u p u

  

 

 

Полагая в последнем неравенстве

,

u r

устанавливаем конечность

r

и

.

R

Согласно теореме о неявной функции [7, 8], в

окрестности точки

1 1

( , )

u s

существует единственное аналитическое решение

0

= ( )

s

u

уравнения

( , ) = ,

k

h u s s

если

1 1

1

1

,

( , ) |

.

k

u u s s

h u s

ks

s

 

Точка

=

u r

— осо-

бая точка для функции

0

( ),

u

получаем равенство (11).

Функция

0

( )

u

аналитическая в области

| |< ,

u r

поэтому при

| |<

u r

0

1

0

= ( )

( , ) |

( ).

k

s

u

h u s

k u

s

 

Лемма 3.

Пусть выполнены условия теоремы 1. Функция

0

( )

u

в окрестно-

сти точки r является аналитической функцией от

1/2

(

) .

u r

Рассмотрим уравнение

( , ) = .

k

h u s s

(13)

В точке

( , )

r R

имеем

( , ) =

k

h r R R

и

= , =

( , ) |

0.

u r s R

h u s

u

Поэтому в этой точке

по теореме о неявной функции существует аналитическое решение = ( )

u s

уравнения (13), являющееся обратной функцией для

0

= ( ).

s

u

Дифферен-

цируя (13), определим первую

du

ds

и вторую

2

2

d u

ds

производные функции

= ( )

u s

в точке

= :

s R

1

=

= ;

| = 0,

k

s R

h du h

du

ks

u ds

s

ds

(14)

так как

1

= , =

|

=

k

u r s R

h

kR

s

по лемме 2,

2

2

2

2

2

2

2

= ( 1) ;

k

h d u

h du h k k s

u ds

u s ds s

 

2

2

2

2

= 2

( , ) ( 1)

| =

0.

( , )

k

s R

h r R k k R

d u

s

h r R

ds

u

 

 

(15)

Числитель в выражении (15) отличен от нуля. Если

0

0,

2

2

0

0

( 1)

( 1)

= 0,

k

p r R k k R

 

 

 

  

 