Previous Page  4 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 16 Next Page
Page Background

Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

19

В случае

00

0, 1

> 0

k

p

p

 

функция

0

( )

u

является аналитической в обла-

сти

| |< ,

u r

1,

r

и представляется рядом

0

0

1

2

=0

( ) =

,

> 0,

0,

0,

m

m

m

u r u r

r

r

 

(7)

В случае

00

0, 1

= 0

k

p

p

 

точка

= 0

u

является точкой ветвления поряд-

ка

k

функции

( )

u

и в кольце

0 <| |< ,

u r

1,

r

функция

0

( )

u

представляется

рядом

0

1

2

=1

( ) = ( ) ,

0,

0, ,

k m

m

m

u r u r

r

 

(8)

где взята ветвь функции

k

u

такая, что

1 =1.

k

Теорема 1 [2].

Пусть функция

( , )

h u s

аналитическая при всех

, ,

и s

выпол-

нены условия (3), (4). Производящая функция вероятностей остановки равна,

| |<1,

u

1

=0

( ) = ( ) ( ),

,

k

l

l

l

u C u u

N





(9)

где функции

( )

l

C u

,

= 0,

,

1,

l

k

определяются условиями

( )= ,

u



 

=

0, ,

1;

k

= 0,

если

  

и

=1.

Следствием является представление для производящей функции

1

1

1

1

0

0

1

=

0

, ,

0

0

( ) = ( 1)

( )

( ),

.

k

k

k

i

k

i

k

i

i

i

i

u

u

u

N

  



  

 



(10)

Здесь знак «

» обозначает, что число показателей степеней

0

1

, ,

,

k

i

i

обращаю-

щихся в нуль, не больше .

Вспомогательные леммы.

Основную роль в исследовании асимптотических

свойств распределения

(0, )

( , )

{

, = 0,1, },

n

q n

исходя из представлений (9) и (10), игра-

ет функция

0

( ).

u

Далее рассмотрим случай (7), случай (8) аналогичен. Обозначим

r

радиус сходимости ряда (7) и примем

0

= ( ).

R r

Поскольку ряд (7) имеет неотри-

цательные коэффициенты, точка

=

u r

— особая для функции

0

( ).

u

Следующие

леммы доказывают аналогично леммам, приведенным в главе 5 работы [3].

Лемма 2.

Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда r и

R

конечны,

1

= , =

( , ) |

= .

k

u r s R

h u s

kR

s

(11)

По второму из условий (4), в разложении (1) для функции

( , )

h u s

коэф-

фициент

0

> 0

p

 

при некотором

1.

k

  

Тогда из равенства

0

0

( , ( )) = ( )

k

h u u

u

 

вытекает, при

0< 1

u