Previous Page  6 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 16 Next Page
Page Background

Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

21

то

R

— положительный корень кратности три уравнения

( , )

= 0,

k

h r s s

чего

быть не может согласно лемме 6, приведенной в работе [2].

Утверждение леммы 3 следует из (14) и (15).

Предельные теоремы.

Обозначим



случайную величину, имеющую

распределение

(0, )

( , )

{

, = 0,1, };

n

q n

вероятности

(0, )

( , )

n

q

определяются производя-

щей функцией (2). Используя явное выражение (9) для

( ),

s



установим пре-

дельные теоремы при

.

  

При

=1

u

из определения (2) получаем

(0, )

( , )

=0

(1) =

= 1,

= 0, ,

1,

n

n

q

q

k





 

где

q



— вероятность остановки случайного блуждания в одном из состояний

{( , ),

}.

n n N

 

Выражение для вероятности

q



дано в теореме 3, приведенной в

работе [6] при условиях (3), и может быть получено из представления (9) при

1.

u

Далее использовано следствие 1, взятое из работы [6],

0 0

= (1 (1)),

.

q C q o

 





(16)

Здесь

0 0

= (1)

q

— ближайший к нулю положительный корень уравнения (6) и

0 0

= (1)> 0.

C C

 

При

2

k

(0, )

( , )

=0

=

<1,

n

n

q

q



и



можно полагать случайной величиной,

принимающей с положительной вероятностью

1

q



бесконечное значение

= .



 

В этом случае рассматривают условное распределение

(0, )

( , )

= |

< = ,

.

n

q

n

n N

q







  

P

(17)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, соответству-

ющей распределению (17), вычисляют по формулам [3]

(1)

|

< =

;

q



 





  

M

(18)

2

(1)

(1)

(1)

|

< =

,

q

q

q







 













  

 

D

(19)

при этом под производной понимают левую производную.

Рассмотрим докритический случай

=1, =1

0

0

( , )

=

|

< ,

(1) = =1 ,

u s

h u s

A

k

q

s

 

критический случай

0

0

( = ,

(1) = =1),

A k

q

и надкритический случай

( > ,

A k