Previous Page  9 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 9 / 16 Next Page
Page Background

А.В. Калинкин

24

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

При

  

значение

/(

)

it

e

 

стремится к

1.

При значениях

u

, близких

к

1,

| ( ) |<1,

l

u

так как

0

0

(1) = < = (1) =1,

l

l

q q

=1, ,

1.

l

k

Учитывая

также (16) при

0

=1,

q

получаем, что предел

ˆ ( )

lim

t





равен пределу

/

/(

)

0

.

(

)

lim

ita

it

e

e

     



Используя разложение Маклорена

2 2

2

0

0

0

0

0

ln ( ) = (1) ( (1)

(1) ( (1)) ) / 2 ( ),

v

e

v

v

o v



      

0

v

,

имеем при

  

2

0

0

0

0

/(

2

0

2

(1)

(1)

(1) ( (1))

)

(

) = exp

(1) .

2

it

e

it

t

o

  



      

Перемножая

/

ita

e

  

на последнее выражение, получаем, с учетом опреде-

лений

а

и

2

,

2

/2

ˆ lim ( ) = .

t

t e





Критический случай.

Производящая функция (2) аналитическая в области

| |<1,

r

= 1

r

точка ветвления второго порядка; формула (18) приводит к значе-

нию математического ожидания

{ |

< } = .

 

   

M

Теорема 3.

Пусть выполнены условия теоремы 1. В критическом случае, при

фиксированном

[0, ),

x

 

1/(2 ) 3/2

2

0

0

1

|

< =

,

lim / (

( 1))

2

x

y

x

e

y dy

A B k k







  

  

P

где

0

=1, =1

( , )

=

|

;

u s

h u s

A

u

2

=1, =1

2

( , )

=

|

.

u s

h u s

B

s

Применим метод интегральных преобразований для доказательства

предельных теорем [10]. Покажем, что преобразование Лапласа для распределе-

ния нормированной случайной величины,

[0, ),

 

2

0

( ) = exp

|

<

/ (

( 1))

A B k k







 



 

 

M

стремится при

  

к функции

2

,

e

 

являющейся преобразованием Лапла-

са плотности распределения устойчивого закона с показателем

=1/ 2

[12],

1/(2 ) 3/2

2

0

1

= .

2

x

x

e

e

x dx e



 

Имеем

2

0

1

( 1)

( ) =

exp

B k k

q

A







 

  



 

и из представления (9) следует