3 / 16
А.В. Калинкин
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
Функции
( )
u
являются аналитическими в области
1.
u
Предположим
выполнение условий
0
0
0
0
0
0
= 0
= 0
=
> 0;
Н.О.Д. ( , > 0 :
=
> 0) =1;
p
p
k
p
p
(3)
0
0
0
> 0 при некотором
> 0;
> 0 при некотором
1.
p
p
k
(4)
Выражение для производящей функции
( )
u
содержит ветви комплекс-
нозначной функции
= ( ),
s
u
определяемой уравнением
( , )
= 0.
k
h u s s
(5)
Уравнение
(1, )
= 0
k
h s s
(6)
рассмотрено в работах [5, 6].
Уравнение (6) имеет корень 1 и далее всегда предполагается наличие двух
положительных корней [2]. Обозначим
1
1
, ,
k
q q
—
1
k
ближайших к нулю
корня уравнения (6) и
0
(0,1]
q
корень уравнения (6) кратности один или два;
0
| |< ,
l
q q
=1, ,
1.
l
k
Если
l
q
корень кратности один уравнения (1), то
1
=1, =
( , ) |
l
k
u s q
l
h u s
kq
s
и по теореме о неявной функции [7, 8] для уравнения (5) в
некоторой окрестности точки
=1
u
имеется единственное решение
= ( ),
l
s
u
для которого
= (1),
l
l
q
и это аналитическая функция в окрестности точки
=1.
u
Если
l
q
корень кратности
m
уравнения (6), то для уравнения (5) в некоторой
окрестности точки
=1
u
имеется
m
решений
1
= ( ), , = ( ),
m
l
l
s
u s
u
для кото-
рых
1
= (1), , = (1),
m
l
l
l
l
q
q
и
=1
u
точка ветвления порядка
m
для функции
( )
u
(см. задачи № 26.19, № 26.51 в работе [8]). Таким образом, в окрестности
точки
=1
u
определены
1
k
ветвь многозначной функции ( ),
u
которые опре-
деляются равенством
( , ( ))
( ) = 0 :
k
h u u
u
1
1
( ), ,
( ),
k
u
u
соответствующие
значениям
1
1
, ,
.
k
q q
Вводим также ветвь
0
( ),
u
соответствующую корню
0
.
q
Если
0
q
— корень кратности два, то берем решение уравнения (5) такое, что
0
0
| ( ) |
u q
при
| | 1.
u
Существование такой ветви
0
( ),
u
а также другие свой-
ства функций
0
1
( ), ,
( )
k
u
u
были рассмотрены в работе [2].
Лемма 1 [2].
Пусть для распределения вероятностей скачков
0
{ }
p
случай-
ного блуждания выполнены условия (3), (4). Из определяемых уравнением (5)
функций
0
( ),
u
1
,
( )
k
u
выделим функцию
0
( )
u
условием
0
0
1
( ) = .
lim
u
u q
Тогда в области
| |< ,
u r
где
1,
r
выполнены неравенства
0
| ( ) |
(| |),
l
u
u
= 0, ,
1.
l
k