Previous Page  2 / 16 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 16 Next Page
Page Background

Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

17

Для случайного блуждания

0

( , )

n n

S S

возможна остановка в одном из состояний

множества

0

0

{( , ),

,

= 0, ,

1}.

Z

k

    

Вероятности остановки равны

0

0

0

0

( , )

( , )

( , )

( , )

=

( ),

lim

n

q

P n

 

 

 

 



а при = 1

k

 

есть вероятности достижения границы

полуплоскости

0

0

{( ,

1),

},

k

Z

   

при = 0, ,

2

k

— вероятности перескока

этой границы. Одна из реализаций случайного блуждания

0

( , )

n n

S S

при началь-

ном состоянии

(0, )

и остановкой в состоянии ( , )

n

показана на рисунке.

Реализация случайного блуждания

( = 3),

k

точки остановки

обозначены знаком «

»

Введем производящую функцию вероятностей скачков,

| | 1,

u

| | 1,

s

0

0

0

, =0

( , ) =

.

h u s

p u s

 

 

 

(1)

Явные выражения для вероятностей остановки при общих предположениях

о производящей функции

( , )

h u s

получены в работе [2]. Настоящая работа явля-

ется продолжением указанной работы. Установлены предельные теоремы для

точки выхода случайного блуждания на границу полуплоскости и для точки пе-

рескока этой границы в докритическом, критическом и надкритическом случа-

ях. Обобщен случай

=1

k

[3, 4], когда перескока через границу полуплоскости

нет. Теоремы 2–5 приведены в краткой заметке [5].

Выражение для вероятностей остановки

(0, )

( , )

n

q

[2].

Учитывая равенство

0

0

( , )

(0, )

( , )

(

, )

=

,

n

n

q

q

 

 

далее рассмотрим вероятности

(0, )

( , )

.

n

q

Введем производящие

функции,

| | 1,

u

(0, )

( , )

=0

( ) =

,

,

= 0, ,

1.

n

n

n

u q u

N

k



 

(2)