13 / 16
А.В. Калинкин
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
Поскольку в критическом случае равенства
( , ) =
k
h u s s
и
1
=
k
h ks
s
справед-
ливы при
=1,
u
=1
s
согласно лемме 2 и следующему за ней замечанию, то
= 1
r
и
0
0
= (1) = =1;
R
q
(28) вытекает из (27).
Доказательство теоремы 5 проводят аналогично доказательству теоремы 1,
приведенной в
§
4 главы 5 работы [3], где исследован случай
=1.
k
Случай
2
k
сводится к случаю
=1.
k
Рассматривают интеграл (25), причем замкнутый кон-
тур интегрирования деформируется так, что главную роль в асимптотическом
исследовании интеграла при
n
играют особые точки функции
0
( )
u
на
границе круга сходимости
| |= .
u r
В случае
2
k
необходимо отметить, что
функции под интегралом в (26) имеют вид
0
( ) = ( ) ( )
( ),
= 0, ,
1,
k
u u u u
k
(29)
причем из формул (26) следуют выражения
1
2
1
1
3
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
3
( ) =1;
( ) = ( )
( );
( ) = ( ) ( )
( ) ( );
.............................................................................
( ) = ( 1) ( ( ) ( )
( )
( ) (
k
k
k
k
k
k
k
k
u
u
u
u
u u u
u u
u
u u
u
u
1
1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
3
1
2
3
1
2
1
)
( ));
( ) = ( 1)
( )
( );
( ) = ( )
( );
( ) = ( ) ( )
( ) ( );
( ) = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( );
..............
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
u
u
u
u
u
u u
u
u
u u
u u
u u u u
u u u
1
1
1
1
0
................................................................
( ) = ( 1)
( )
( );
( ) = 0.
k
k
u
u
u
u
Функции
( ),
u
( )
u
аналитические в области
| |< ,
u
> .
r
Действительно,
пусть
0
,
u
0
| | ,
u r
особая точка функции
( ).
l
u
Как отмечено в работе [2],
0
0
( , ( ))
l
u u
точка ветвления порядка
,
,
m m k
многозначной функции ( ).
u
В некоторой окрестности точки
0
u
функция ( )
u
представима в виде
0
( )=
,
m
u
u u
(32)
где
( )
z
— аналитическая функция в точке
=0
z
[8]. Среди функций
1
1
( ), ,
( )
k
u
u
имеются функции
1
1
( ),
( ), ,
( ),
l
l
lm
u u
u
соответствующие
m
ветвям функции (32) в окрестности точки
0
.
u
В таком случае из выражений (30),
(31) следует, что точка
0
u
не является особой для функций
( ),
u
( )
u
— доста-
точно подставить в (30), (31) выражения для
1
1
( ),
( ), ,
( )
l
l
lm
u u
u
из (32).
(30)
(31)