14 / 16
Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
29
После подстановки (29) в (25) получаем, при
n
(0, )
0
1
( , )
1
0
1 =
( )
( ),
(mod ),
2
k
n
n
n
du
q
u
O
n l
d
i
u
где
1
< <
r
и
= ( ),
r
= 0, ,
1.
k
С использованием результатов о ре-
шетке
L
S
в работе [3] построен специальный симметричный контур
для ин-
теграла
0
1
1 ( )
,
2
n
du u
i
u
охватывающий каждую из
d
точек ветвления второго порядка
2 /
,
,
i d
r re
,
2 ( 1)/
i d d
re
(в лемме 3 рассмотрена точка ветвления
=
u r
функции
0
( )
u
).
Последний интеграл исследован в работе [3] и приведен к асимптотике (27).
Заключение.
Обобщен случай
=1
k
[3], когда перескока случайного блуж-
дания через границу полуплоскости нет. Нелинейное свойство ветвления пере-
ходных вероятностей, позволяющее свести исследование к схеме суммирования
независимых случайных величин, использовано в работе [3]. Методами, приве-
денными в настоящей работе, установлены предельные теоремы, представлен-
ные в работе [13] для точки выхода за границу неоднородного случайного
блуждания на
2
N
и в работе [14] для точки выхода за границу случайного
блуждания на
3
.
N
ЛИТЕРАТУРА
1.
Спицер Ф.
Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.
2.
Калинкин А.В.
Вероятности перескока границы для случайного блуждания в полу-
плоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Сер. Естественные науки. 2015. № 2. С. 38–52. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-2-38-52
3.
Севастьянов Б.А.
Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 436 с.
4.
Otter R.
The multiplicative process // Ann. Math. Statistics. 1949. Vol. 20. No. 2. P. 206–224.
5.
Калинкин А.В.
Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с
взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. Вып. 6. С. 1309–1312.
6.
Калинкин А.В.
Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием
частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т. 27. Вып. 1. С. 192–197.
7.
Евграфов М.А.
Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.
8.
Евграфов М.А, Бежанов К.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И.
Сборник
задач по теории аналитических функций. М.: Наука, 1972. 416 с.
9.
Athreya K.B., Ney P.E.
Branching processes. Berlin: Springer-Verlag, 1972. 287 p.
10.
Гнеденко Б.В.
Курс теории вероятностей. М.: Едиториал УРСС, 2005. 448 с.
11.
Оберхеттингер Ф.
Преобразования Фурье распределений и их обращения. Таблицы.
М.: Наука, 1979. 248 с.