10 / 19
М.Б. Гавриков, В.В. Савельев
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
2
2
2
1
0;
.
4
4
4
e i
x
i
e
e i
x
E H i
c t
x
H
H
H
c
E
U
c
E
i
H i
H
H
U
x c
c
x
x
x
(23)
Система (23) решается на прямой
x
для
0
t
с начальными усло-
виями при
0,
t
которые уточняются ниже, и с граничными условиями на бес-
конечности
( )
,
( ) 0,
( ) 0,
( ) 0, ( ) 0.
x
U
U
H
E
(24)
Для численного решения задачи (23), (24) перепишем ее в безразмерной
форме, полагая, что характерные масштабы величин удовлетворяют соотноше-
ниям
0 0 0
/ ,
E V H c
0
0
0
4 ,
V H
0 0 0 0
/ ,
t L V
и используя компакт-
ную векторную запись
2
2
( , )
0;
0;
( )
( , )
H
t
x
H E i
t
x
E
E g
D H
x
u f u
u
u
(25)
с граничными условиями
1
2
3
( ) 1,
( ) 0,
( ) 0,
( ) 0, ( ) 0.
u
u
u
H
E
(26)
Здесь
1 2 3
1
2
2
2 3
2
2
2
1
1
2
2
2
3
2
1
1
1
( ,
,
) ( ,
,
);
( , )
,
,
,
,
;
2
2
( )
,
( ,
)
.
x
x
x
x
u u u
U U
H
H
u
u u
H u
H H U U
U U H H
u
u
H
i
u H
g
D H H u Hu i H
u
u
x
x u x
u
f u
u
u
В записи (25) система (23) распадается на «гидродинамическую» часть, записан-
ную в дивергентном виде, и «электродинамическую» часть, состоящую из закона
Ома и закона Фарадея. Рассмотрим численный метод решения системы (25), осно-
ванный на двухшаговой схеме Лакса — Вендрофа [14] для гидродинамических
уравнений. Выберем равномерную разностную сетку на прямой
,
k
x kh
,
k
где
k
— целое;
0
h
— шаг сетки. Переход от разностной аппрок-
симации неизвестных функций на сетке с временного слоя
0
t t
0 0
0
0 0
,
,
,
,
,
k x k k
k k
U U H E
на слой
0
t t
1 1
1
0 1
,
,
,
,
,
k x k k
k k
U U H E
проходит в два
этапа.