11 / 19
Взаимодействие уединенных волн в двухжидкостной магнитной гидродинамике…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
69
Этап 1.
Вычисляем вспомогательные сеточные функции
1/2 1/2 1/2
1/2 1/2
,
,
,
,
,
,
k
x k k
k
k
U U H E
которые можно интерпретировать как приближенные значения неизвестных
функций в «дробных» узлах
1/2
( 1/2)
k
x
k
h
в момент времени
0
/ 2:
t
0
0
0 0
1/2
0
1
1
1/2
1/2
1/2
0
0
0
1/2
1/2
1
0
0 0
0
0
0
1/2
1
1/2
1
1/2
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
2
,
,
,
;
/ 2
1
1
0
,
,
/ 2
2
2
2
( ,
) .
k
k
k k
k
k
k
k
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
H
H H
H
H
h
H H E E
i
h
E
E E
E g
D H
h
u
u u
f u
f u
u u
u
u
Простейшая аппроксимация дифференциального оператора
1/2 1/2
( ,
):
D H
u
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2 , 1/2 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
,
3/2
, 1/2
, 1/2
, 1/2
3/2
1/2
1/2
1/2
( ,
)
2
.
2
2
k
k
k
k
k
x k
k
x k
x k
x k
x k
k
k
k
k
H H
i
D H
iH U iH U
i H
h
U U
U U
H H
H H
h
h
h
u
Этап 2.
Вычисляем искомые сеточные функции на новом слое, зная вспомо-
гательные функции, определенные на этапе 1:
1/2
1/2
1/2
1/2
1 0
1/2
1/2
1/2
1/2
1
0
1/2
1/2
1
1
1 1
1
1
1
1
1 1
2
(
,
) (
,
)
0;
0;
2
( )
( ,
) .
k
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
k k
k
k
k
H
H
h
H H E E i
h
E E E
E g
D H
h
f u
f u
u u
u
u
Естественная аппроксимация для оператора
1 1
( ,
) :
k
D H
u
1
1
1
1
1 1
1
1 1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, 1
,
,
, 1
1
1
( ,
)
2
.
2
2
k
k
k
k
k x k
k
x k
x k
x k
x k
k
k
k
k
H H
i
D H iH U iH U
i H
h
U U
U U
H H
H H
h
h
h
u
При этом
2
1/2
1
1/2
1/2
1
1/2
,
.
k
k
k
k
g
g
u
u
Реальный расчет проводят на конечной сетке в области [0,
L
] в целочисленных
узлах
,
/ , 0
,
k
x kh h L N k N
с учетом граничных условий (26). На этапе 1
вспомогательные величины
1/2 1/2 1/2
,
,
H E
u
вычисляют во внутренних дробных
узлах. На этапе 2 расчет величин
1
1
,
H
u
выполняют во всех целых узлах, а расчет