9 / 19
Взаимодействие уединенных волн в двухжидкостной магнитной гидродинамике…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
67
Учитывая выражение
2
2
2
1
,
A
V
a
из выражения (22) следует явная зави-
симость ширины от фазовой скорости волны. Нетрудно проверить, что
( )
a
моно-
тонно убывает по
a
от +
для медленных волн и до 0 для быстрых волн.
Методика численного моделирования.
Выше было установлено, что в по-
коящейся однородной плазме плотностью
в однородном магнитном поле с
напряженностью
,
H
вдоль этого поля могут распространяться уединенные
волны (18) типа волновых пакетов с фазовой скоростью
,
a
амплитудой
( )
m
A a
и шириной
( ).
a
Волны с большей амплитудой более узкие и перемещаются
быстрее более широких волн с меньшей амплитудой. В этих волнах продольное
магнитное поле постоянно и равно
||
,
H
а поперечное магнитное поле вращает-
ся в поперечной плоскости вокруг начала координат с переменной скоростью
(12), при этом на
поперечное поле равно нулю. Тогда из формул (9) следует
что, что и
( ) 0.
E
Рассмотрим три задачи о взаимодействии рассмотренных выше волн. Инте-
ресует, что происходит
1) при движении двух волн одинаковой амплитуды навстречу друг другу;
2) при движении двух волн разной амплитуды навстречу друг другу;
3) при набегании волны с большой амплитудой на волну с меньшой ампли-
тудой, когда волны движутся в одном направлении.
Принципиально важно, что взаимодействие уединенных волн определяется
не модельными уравнениями (типа Кортевега — Де-Фриза и др.), а полной си-
стемой уравнений гидродинамики двухжидкостной плазмы, выражающей фун-
даментальные законы сохранения массы, импульса, энергии, и законами элек-
тродинамики. Для математического исследования взаимодействия волн соот-
ветствующая система уравнений в частных производных решается численно.
Направим ось
х
вдоль направления распространения волны
k
и введем ком-
плексные обозначения для поперечных компонент векторов
U
,
H
,
E
:
,
,
.
y
z
y
z
y
z
U U iU H H iH E E iE
Тогда в одномерной
/
/
0
y
x
геометрии и в приближении холодной
плазмы
(
0)
e
i
p p
уравнения (1)−(5) примут вид
2
2
0;
0;
8
0;
4
x
x
x
x
U
t
x
U
H
U
t
x
H
U U U H
t
x
(23)