8 / 19
М.Б. Гавриков, В.В. Савельев
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
Откуда
0
,
A
H V
b
H a
где
.
4
A
H V
Тогда из условий (17) получаем ограни-
чение на фазовую скорость
:
a
2 .
A
A
V a
V
(19)
Уединенную волну с фазовой скоростью
A
a V
будем называть медлен-
ной, а с фазовой скоростью
2
A
a
V
— быстрой. Для любого значения
скорости
,
a
удовлетворяющего (19), найдется единственная уединенная волна,
подчиненная указанным выше граничным условиям на бесконечности. Для
этой волны функции
( )
H
и
( )
вычисляют по формулам (18). Относитель-
ная амплитуда уединенной волны равна
2
2
0
2
2
( )
2
1
2
.
m
A
m
A
A
H H a
V
a
A a
H V
a
V
(20)
Очевидно, амплитуда
( )
m
A a
монотонно возрастает по
,
a
для медленных
волн
( ) 0,
m
A a
для быстрых —
2
( ) 2 .
m
A a
Для электрон-ионной плазмы эта
величина приблизительно равна
,
что составляет несколько десятков единиц.
Например, для водородной плазмы максимальное значение амплитуды прибли-
зительно составляет 42. Таким образом, быстрые уединенные волны обладают
большими амплитудами, и поперечное магнитное поле в горбе уединенной вол-
ны в несколько десятков раз превышает фоновое магнитное поле
H
в невоз-
мущенной плазме.
Важнейшей характеристикой волновых пакетов
( ),
( )
y
z
H H
является их ши-
рина, совпадающая с шириной уединенной волны
( ).
H
Функция
( )
H
— четная
по
и имеет единственную точку перегиба
0
0.
Проведем в точках перегиба
0
касательные к графику функции
( )
H
до их пересечения с осью
.
Под шири-
ной уединенной волны
( )
H
и волновых пакетов
( ),
( )
y
z
H H
будем понимать
длину отрезка, отсекаемого от оси
указанными касательными:
0
0
0
0
0
0
0
2
2(
( )),
( ).
( )
H
H H H H
H
(21)
Точки перегиба определяют из уравнения
( ) 0.
H
Проще решить равносиль-
ное уравнение
( ) 0
H
и убедится, что оно имеет, с точностью до знака, един-
ственное решение
2
2
0
2
2 .
1
H
Теперь из (18) с учетом (13) для напряженности
m
H
находят величину
0
и получают следующее выражение для ширины (21):
2
2
2
2
2
1 2
ln
2 2(1 ) ,
.
1
2
s
s
s
s
(22)