4 / 19
М.Б. Гавриков, В.В. Савельев
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
Уравнения бегущих волн в холодной плазме.
Рассмотрим решения уравнений
(1)−(5) в случае холодной плазмы, зависящие от параметров
,
t
r
в комбинации
,
at
rk
где
k
— единичный вектор;
a
— константа. Такие решения обычно
называются плоскими бегущими волнами,
a
— фазовой скоростью волны,
k
—
направлением распространения волны. Интересно взаимодействие уединенных
бегущих волн, все параметры которых имеют конечные и равные предельные зна-
чения при
.
Параметры произвольной бегущей волны
( ),
U
( ),
( ),
H
( )
E
при фиксированных параметрах
k
и
a
находят подстановкой в систему
(1)−(5), где принято
0.
i
e
p p
После несложных преобразований получают сле-
дующие уравнения для поперечного магнитного поля
( )
H
и продольной скоро-
сти
( )
( )
u U a
в системе отсчета движущейся волны:
2
2
2
;
8
,
0.
4
4
4
i e
i
e
H Ju
D
H
cH
c
d
u
u u
u
J
J d
J
H
H
k H q
(8)
Здесь точка над буквой означает дифференцирование по
,
каждый вектор раскла-
дывается вдоль
( )
и поперек
( )
направления распространения волны
;
k
0,
J
0,
D
q k
—
произвольные константы интегрирования. Кроме того, в бегущей
волне всегда
( ) const.
H
Остальные параметры волны выражаются через вели-
чины
( ),
u
( )
H
по формулам:
0
2
0
,
,
;
4
1
1
,
,
,
;
8
0,
,
,
4
i
e
H
J
U u a U
u
J
J
H
dH
a
c
J
c
d
c
j
j
q
H
E k q q H E
U H
k
k H
(9)
где
0
q k
— еще одна константа интегрирования. Из
0,
j
в частности, следует,
что в бегущей волне электроны и ионы вдоль направления волны
k
двигаются с
общей гидродинамической скоростью
( ),
U
которая, как и поперечное электриче-
ское поле
( ),
E
зависит от фазовой скорости
.
a
Система (8), очевидно, сводится к
автономному дифференциальному уравнению второго порядка относительно
( ).
H
В частном случае в двухжидкостной форме система (8) получена в работе
[12], в общем случае — в работе [7].
Столкновения уединенных волн, являющихся решениями системы (8) для
0
H
вида
0
( ) ( ) ,
H
H
e
где
0
e k
— произвольный единичный вектор,
0
,
q
q e
в которых вектор магнитного поля
H
изменяется только по величине,
сохраняя при этом фиксированное направление в поперечной плоскости, ис-
следованы в работе [13].
В настоящей работе изучены уединенные волны другого вида, в которых
вектор
,
H
напротив, вращается в поперечной плоскости вокруг начала коор-
динат, тем самым все время изменяя свое направление. Эти уединенные волны