4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
УДК 517.52
DOI: 10.18698/1812-3368-2017-3-4-16
НУЛИ ПОЛИНОМОВ ПО СИСТЕМЕ ТИПА ХААРА
Е.А. Власова
elena.a.vlasova@yandex.ruМГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Ключевые слова
Получена точная оценка меры Лебега множества нулей
полиномов произвольно большого порядка с ненуле-
выми коэффициентами по обобщенной системе Хаара
для случая ограниченной последовательности пара-
метров, определяющих данную систему. Аналогичные
вопросы исследованы для случая неограниченной
последовательности параметров обобщенной системы
Хаара. В последнем случае показано, что всегда найдет-
ся полином, мера Лебега множества нулей которого
сколь угодно мало отличается от единицы
Обобщенная система Хаара, поли-
ном, мера Лебега, множество нулей
Поступила в редакцию 22.09.2016
©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
Введение.
Мультипликативные системы и системы, тесно с ними связанные,
продолжают привлекать внимание и математиков, и инженеров. К таким систе-
мам относятся ортонормированные системы типа Хаара, частным случаем ко-
торых является классическая система Хаара [1, 2].
В последние годы при фильтрации, предварительной обработке и синтезе
различных сигналов, решении задач сжатия, обработки и склейки изображений
находят широкое применение вейвлеты [3–5]. В качестве материнского вейвлета
нередко используют вейвлет Хаара [6, 7]. Функции Хаара являются старейшими
представителями вейвлет-функций, известными с 1910 г.
Системы функций Хаара и им подобные применяют в самых различных
областях науки и техники при решении широкого классса теоретических и при-
кладных задач [8]. В настоящей работе рассмотрены некоторые свойства поли-
номов по системам
{ },
n
p
χ
впервые введенных Н.Я. Виленкиным [9, 10] для
последовательностей простых и ограниченных в совокупности чисел
.
n
p
Основные свойства этих систем для произвольных натуральных чисел
1
n
p
≠
также изучены в работах [11–17]. Вопросы исследования обобщенных систем
Хаара актуальны и в настоящее время [18–22].
Определения и постановка задачи.
Пусть
{ }
n
p
— последовательность нату-
ральных чисел, таких, что
2,
n
p
≥
.
n
∈
Примем
1
=
,
n
n
m p p
1,
n
≥
0
=1.
m
Тогда для любой точки
[0, 1]\ ,
t
Q
∈
где
{ }
= /
,
n
Q l m
0
,
n
l m
≤ ≤
,
l
∈
,
n
∈
суще-
ствует единственное разложение
∞
=1
( )
=
k
k
k
j t
t
m
(1)
с условием
0 ( )
1,
k
k
j t p
≤ ≤ −
( ) ,
k
j t
∈
.
k
∈