Нули полиномов по системе типа Хаара

2 / 13

Нули полиномов по системе типа Хаара
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3 5
Любое целое число 2 m ≥ единственным образом можно представить в виде
1 = ( 1) ,
n n m m r p s
+ + − + (2)
1 {0} , = 0, 1, , 1, =1, , 1.
n n n r m s p + ∈ ∪ − −   
Определим комплекснозначную систему функций { } =1 { } = ( )n m m p t ∞
χ χ следую-
щим образом. Пусть 1( ) =1t χ при [0, 1]. t ∈ Используя разложение = m
1 ( 1) ,
n n m r p s
+ = + − + для 2 m ≥ примем
( ) ( ) = ( ) =s
m nrt t χ χ
1 1 exp(2 ( ) / ) при ( / , ( 1) / ) \ ;
0 при [ / , ( 1) / ].
n n n n n
n n
m isj t p t r m r m Q
t r m r m
+ +  π ∈ + 
=  ∉ + 
(3)
В остальных точках интервала (0, 1) функция ( )
m t χ равна полусумме своих
предельных значений справа и слева по множеству [0, 1]\ , t Q ∈ а на концах от-
резка [0, 1] — предельным значениям внутри отрезка.
При = 2,
n p , n ∈  система функций { }n p χ совпадает с классической систе-
мой Хаара [1, 2].
Функцию
=1
( ) = ( ),
N
m m
m
f t a tχ  где 0,
N a ≠ будем называть полиномом порядка
N по системе { }.n p χ Если заранее неизвестно значение коэффициента ,
N a то
функцию ( )f t назовем полиномом порядка не выше . N
Всякий интервал = ( / , ( 1) / ),
nr n n r m r m Δ + где 0 1,
n r m ≤ ≤ − , r ∈ 
{0} , n ∈ ∪  будем называть интервалом n -го ранга, а функции ( )s
nr χ для всех ин-
дексов с условиями 0 1,
n r m ≤ ≤ − , r∈  1 =1, , 1,
n s p + −  {0} n ∈ ∪  — функция-
ми системы { }n p χ n-го ранга ( 1 ( )t χ будем считать функцией ранга –1). Отметим,
что функции ( )
m t χ n -го ранга имеют интервалы постоянства (n + 1)-го ранга.
Для системы Хаара в работе П.Л. Ульянова [23] был установлен следующий
результат.
Теорема 1 (теорема Ульянова). Пусть N — натуральное четное число,
0
m a ≠ при 1 m N ≤ ≤ и полином
=1
( ) = ( ).
N
N m m
m
P t a tχ  Тогда мера Лебега
{ : [0, 1], mes t t ∈ ( ) = 0} 1/ 2.
N P t ≤
Изучим аналогичные вопросы для системы { }.n p χ
Основные результаты. Теорема 2. Пусть =1 { } \ {1},
n n p ∞ ⊂  1 = ,
n n m p p
1, n ≥ 0 =1, m натуральное число 1 = N p или 1 = ( 1) ,
n n n N m k p p
+ + − , n ∈ 
1 {1, 2, , },
n k m − ∈  0
m a ≠ при 1 m N ≤ ≤ и полином
=1
( ) = ( ),
N
N m m
m
P t a tχ  где
( )
m t χ — функции системы { }.n p χ Тогда, если = < , sup n
n
p p
∈
∞

то мера Лебега