Нули полиномов по системе типа Хаара
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
5
Любое целое число
2
m
≥
единственным образом можно представить в виде
1
= (
1) ,
n
n
m m r p
s
+
+
− +
(2)
1
{0} , = 0, 1,
,
1, =1,
,
1.
n
n
n
r
m s
p
+
∈ ∪
−
−
Определим комплекснозначную систему функций
{ }
=1
{ } = ( )
n
m m
p
t
∞
χ
χ
следую-
щим образом. Пусть
1
( ) =1
t
χ
при
[0, 1].
t
∈
Используя разложение
=
m
1
(
1) ,
n
n
m r p
s
+
= +
− +
для
2
m
≥
примем
( )
( ) = ( ) =
s
m nr
t
t
χ χ
1
1
exp(2
( ) /
) при ( / , ( 1) / ) \ ;
0
при
[ / , ( 1) / ].
n
n
n
n
n
n
n
m isj
t p
t r m r
m Q
t r m r
m
+
+
π
∈
+
=
∉
+
(3)
В остальных точках интервала
(0, 1)
функция
( )
m
t
χ
равна полусумме своих
предельных значений справа и слева по множеству
[0, 1]\ ,
t
Q
∈
а на концах от-
резка
[0, 1]
— предельным значениям внутри отрезка.
При
= 2,
n
p
,
n
∈
система функций
{ }
n
p
χ
совпадает с классической систе-
мой Хаара [1, 2].
Функцию
=1
( ) =
( ),
N
m m
m
f t
a t
χ
где
0,
N
a
≠
будем называть полиномом порядка
N
по системе
{ }.
n
p
χ
Если заранее неизвестно значение коэффициента
,
N
a
то
функцию ( )
f t
назовем полиномом порядка не выше
.
N
Всякий интервал
= ( / , ( 1) / ),
nr
n
n
r m r
m
Δ
+
где 0
1,
n
r m
≤ ≤ −
,
r
∈
{0} ,
n
∈ ∪
будем называть интервалом
n
-го ранга, а функции
( )
s
nr
χ
для всех ин-
дексов с условиями 0
1,
n
r m
≤ ≤ −
,
r
∈
1
=1,
,
1,
n
s
p
+
−
{0}
n
∈ ∪
— функция-
ми системы
{ }
n
p
χ
n
-го ранга (
1
( )
t
χ
будем считать функцией ранга –1). Отметим,
что функции
( )
m
t
χ
n
-го ранга имеют интервалы постоянства (
n
+ 1)-го ранга.
Для системы Хаара в работе П.Л. Ульянова [23] был установлен следующий
результат.
Теорема 1 (теорема Ульянова).
Пусть
N
— натуральное четное число,
0
m
a
≠
при
1
m N
≤ ≤
и полином
=1
( ) =
( ).
N
N
m m
m
P t
a t
χ
Тогда мера Лебега
{ :
[0, 1],
mes t t
∈
( ) = 0} 1/ 2.
N
P t
≤
Изучим аналогичные вопросы для системы
{ }.
n
p
χ
Основные результаты.
Теорема 2.
Пусть
=1
{ }
\ {1},
n n
p
∞
⊂
1
=
,
n
n
m p p
1,
n
≥
0
=1,
m натуральное число
1
=
N p
или
1
= (
1) ,
n
n
n
N m k p
p
+
+
−
,
n
∈
1
{1, 2,
,
},
n
k
m
−
∈
0
m
a
≠
при
1
m N
≤ ≤
и полином
=1
( ) =
( ),
N
N
m m
m
P t
a t
χ
где
( )
m
t
χ
—
функции системы
{ }.
n
p
χ
Тогда, если
= < ,
sup
n
n
p p
∈
∞
то мера Лебега