Нули полиномов по системе типа Хаара
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
9
Для точек
1
1
( / , ( 1) / ),
t l p l
p
∈ +
1
=1,
,
1,
l
p
−
имеем
1
1 2
3
1
1
1
1
2( 1)
2
4
( )
exp
exp
exp
N
p
p l i
l i
l i
P t a a
a
a
p
p
p
− π
π
π
= +
+
+…+
+
2
1 2
1
2
( 1)
(1)
( 1) 1
( 1)( 1)
1
1
( )
( ).
p
p l p
p l
p
l
l
a
t
a
t
−
+ − +
+ + −
+
χ + +
χ
Кроме того, при
1
1 2
1
1 2
( /
/
, /
( 1) /
),
t l p r p p l p r
p p
∈ +
+ +
2
= 0, 1,
,
1,
r
p
−
по-
лучаем
2
1
1 2
1
1
( 1)
1
1
1
2
2( 1)
2
( )
exp
exp .
p
p
N
k
p l p
s
k
s
k l i
sr i
P t
a
p a
p
p
−
+ − +
=
=
− π
π
=
+
Учитывая изложенное выше, для
1
= 0, 1, ,
1
l
p
−
имеем
2
1
1
1 2
1
{ :
( / , ( 1) / ),
( ) = 0}
,
N
p
mes t t l p l
p P t
p p
−
∈ +
≤
причем оценка точная. Следовательно, для
1 2
=
N p p
справедливо неравенство
2
2
1
{ :
(0, 1),
( ) = 0}
.
N
p
mes t t
P t
p
−
∈
≤
Используя приведенные выше результаты, нетрудно установить оконча-
тельность полученной оценки.
Предположим, что
0
0
0
1
0
= (
1)
,
n
n
n
N m p
p k
+
+ −
где
0
0
1
{1, 2,
,
},
n
k
m
−
∈
0
2,
n
≥
0
.
n
∈
Тогда
0
0
0
0
0
(
1) 1
0
(1)
(2)
=1
= 1
( ) =
( )
( ) = ( )
( ).
m
m p
p k
n
n n
n
N
m m
m m N
N
m
m mn
P t
a t
a t P t P t
+
−+
+
χ +
χ
+
Поскольку
(2)
( ) = 0
N
P t
при
0
0
1
( /
, 1) = ,
n
t k m
−
∈
δ
верно равенство
(1)
{ :
,
( ) = 0} = { :
,
( ) = 0}.
N
N
mes t t
P t
mes t t
P t
∈δ
∈δ
Интервал
δ
распадается на целое число интервалов (
n
0
– 1)-го ранга
0
0
10
0
1
0
1
1
1
=
,
,
1.
n
n r
n
n
r
r
k r m
m m
−
−
−
−
+
Δ
≤ ≤ −
Таким образом, приходим к неравенству
0
0
0
0
0
0
11
(1)
10
=
1
1
{ :
,
( ) = 0}
=
| | .
mn
n
n
r n
N
r k
n
n
p
p
mes t t
P t
p
p
−−
−
−
−
∈δ
≤
Δ
δ
Пусть
0
1
0
1
= (0,
/
).
n
k m
−
δ
Этот интервал распадается на интервалы
n
0
-го
ранга: