Previous Page  6 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 13 Next Page
Page Background

Нули полиномов по системе типа Хаара

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3

9

Для точек

1

1

( / , ( 1) / ),

t l p l

p

∈ +

1

=1,

,

1,

l

p

имеем

1

1 2

3

1

1

1

1

2( 1)

2

4

( )

exp

exp

exp

N

p

p l i

l i

l i

P t a a

a

a

p

p

p

− π

π

π

= +

+

+…+

+

2

1 2

1

2

( 1)

(1)

( 1) 1

( 1)( 1)

1

1

( )

( ).

p

p l p

p l

p

l

l

a

t

a

t

+ − +

+ + −

+

χ + +

χ

Кроме того, при

1

1 2

1

1 2

( /

/

, /

( 1) /

),

t l p r p p l p r

p p

∈ +

+ +

2

= 0, 1,

,

1,

r

p

по-

лучаем

2

1

1 2

1

1

( 1)

1

1

1

2

2( 1)

2

( )

exp

exp .

p

p

N

k

p l p

s

k

s

k l i

sr i

P t

a

p a

p

p

+ − +

=

=

− π

π

=

+

Учитывая изложенное выше, для

1

= 0, 1, ,

1

l

p

имеем

2

1

1

1 2

1

{ :

( / , ( 1) / ),

( ) = 0}

,

N

p

mes t t l p l

p P t

p p

∈ +

причем оценка точная. Следовательно, для

1 2

=

N p p

справедливо неравенство

2

2

1

{ :

(0, 1),

( ) = 0}

.

N

p

mes t t

P t

p

Используя приведенные выше результаты, нетрудно установить оконча-

тельность полученной оценки.

Предположим, что

0

0

0

1

0

= (

1)

,

n

n

n

N m p

p k

+

+ −

где

0

0

1

{1, 2,

,

},

n

k

m

0

2,

n

0

.

n

Тогда

0

0

0

0

0

(

1) 1

0

(1)

(2)

=1

= 1

( ) =

( )

( ) = ( )

( ).

m

m p

p k

n

n n

n

N

m m

m m N

N

m

m mn

P t

a t

a t P t P t

+

−+

+

χ +

χ

+

Поскольку

(2)

( ) = 0

N

P t

при

0

0

1

( /

, 1) = ,

n

t k m

δ

верно равенство

(1)

{ :

,

( ) = 0} = { :

,

( ) = 0}.

N

N

mes t t

P t

mes t t

P t

∈δ

∈δ

Интервал

δ

распадается на целое число интервалов (

n

0

– 1)-го ранга

0

0

10

0

1

0

1

1

1

=

,

,

1.

n

n r

n

n

r

r

k r m

m m

+

Δ

≤ ≤ −

Таким образом, приходим к неравенству

0

0

0

0

0

0

11

(1)

10

=

1

1

{ :

,

( ) = 0}

=

| | .

mn

n

n

r n

N

r k

n

n

p

p

mes t t

P t

p

p

−−

∈δ

Δ

δ

Пусть

0

1

0

1

= (0,

/

).

n

k m

δ

Этот интервал распадается на интервалы

n

0

-го

ранга: