4 / 13
Нули полиномов по системе типа Хаара
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
7
1
1
1
{ :
[0, 1],
( ) = 0} 1 .
p
mes t t
P t
p
∈
≤ −
(6)
Таким образом, справедливо и неравенство (4).
Отметим, что полученная оценка (6) является точной. Предположим, что
1
( ) = 0
p
P t
для
(
)
1
1
1
1
1
/ , ( 1) / .
p
j
t
j p j
p
−
=
∈
+
Тогда при
1
exp(2 / )
y
i p
= π
верны равен-
ства
1
1
1
1
1
1 2
1
2( 1)
2
1 2
1
2
1
2( 1)
1 2
1
0;
0;
0.
p
p
p
p
p
p
p
a a y
a y
a a y
a y
a a y
a y
−
−
−
−
+ +…+
=
+ +…+
=
……………………………
+
+…+
=
(7)
Для
1
1 2
1
= = = =1
p
a a
a
−
все равенства системы (7) выполняются, поскольку
1
1
1
1
( 1)
1
1
exp(2 / ) 1 exp(2 ) 1
1
1
0
1 exp(2 / ) 1 exp(2 / ) 1
kp
k p
k
k
kp i p
k i
y
y
y
y
k i p
k i p
−
π −
π −
−
+ +…+
=
=
=
=
−
π −
π −
для любых значений
1
=1, 2,
,
1.
k
p
−
Пусть
1
2
1 1 2
= (
1) = .
N p p p p p
+ −
Тогда
1
1 2
1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
00 00
=1
=0 =1
( ) = ( )
( )
( ).
p
p p
s s
s s
N
r r
s
r
s
P t a t
a
t
a
t
−
− −
χ +
χ +
χ
Для
1
(0, 1/ )
t
p
∈
имеем
2
1
1
(
1)
(1)
1 2
1
1
10
10
1 2
( ) =
( )
( ).
p
N
p
p
p p
P t a a
a a
t
a
t
−
+
+ −
+ + + + χ + +
χ
При этом для
(
)
1 2
0, 1/ (
)
t
p p
∈
справедливо равенство
1 2
1 2
1 1
1 1
1
1
( ) =
.
N
p
p
p p
P t a a
a a p
a
p
+
+ −
+ + + +
+ +
Для всех точек
(
)
1 2
1 2
/ (
), ( 1) / (
) ,
t k p p k
p p
∈
+
2
=1, 2,
,
1,
k
p
−
получаем ра-
венство
1
1 2
2
1 2
1 1
1 1
1
2
2
2 (
1)
2
( )
exp
exp
.
N
p
p
p p
k p
i
k i
P t a a
a a p
a
p
p
p
+
+ −
− π
π
= + +…+ +
+…+
Если обозначить
1
1
=1
= ,
p
m
m
b a
1
1 2
2
1
1
1
1
2
=
,
,
=
,
p
p
p p
b p a
b
p a
+
+ −
то с учетом
изложенного выше получаем
2
1
1 2
1
{ :
(0, 1/ ),
( ) = 0}
.
N
p
mes t t
p P t
p p
−
∈
≤
Отметим, что полученная оценка является точной.