Previous Page  9 / 13 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 9 / 13 Next Page
Page Background

Е.А. Власова

12

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3

Таким образом,

0

0

0

1

{ :

[0, 1],

( ) = 0} =

> ,

n

n

m

n

p

mes t t

P t

A

p

что противоречит пред-

положению.

В ходе доказательства теоремы 2 были установлены следующие два утвер-

ждения.

Теорема 3.

Пусть

1

= (

1) ,

n

n

n

N m k p

p

+

+

2,

n

,

n

1

{1, 2, ,

},

n

k

m

0

m

a

при

1

m N

≤ ≤

и полином

=1

( ) =

( ).

N

N

m m

m

P t

a t

χ

Тогда на каждом интервале

1

n r

Δ

(

n

– 1)

-го ранга с условием

1

1

n

k r m

≤ ≤ −

функция

( )

N

P t

может обратиться

в нуль на множестве меры, не большей, чем

1

(1 1/ )

.

n n r

p

− Δ

В то же время на каж-

дом интервале

nr

Δ

n-го ранга с условием

0

1

n

r p k

≤ ≤ −

функция

( )

N

P t

может об-

ратиться в нуль на множестве меры, не большей, чем

1

(1 1/

)

.

n

nr

p

+

Δ

Теорема 4.

Пусть

1

= (

1) ,

n

n

n

N m k p

p

+

+

,

n

1

{1, 2, ,

},

n

k

m

0

m

a

при

1

m N

≤ ≤

и полином

=1

( ) =

( ).

N

N

m m

m

P t

a t

χ

Тогда

1

1

{ :

[0, 1],

( ) = 0} 1

.

max{ ,

}

N

n n

mes t t

P t

p p

+

≤ −

Следствие 1.

Пусть

1

= (

1) ,

n

n

n

N m k p

p

+

+ −

,

n

1

{1, 2, ,

},

n

k

m

0

m

a

при

1

m N

≤ ≤

и полином

=1

( ) =

( ).

N

N

m m

m

P t

a t

χ

Тогда, если

{ }

n

p

— неубывающая

последовательность целых чисел с условием

2,

n

p

то

1

1

{ :

[0, 1],

( ) = 0} 1

.

N

n

mes t t

P t

p

+

≤ −

Теорема 5.

Если для системы

{ }

n

p

χ

выполнено условие

= ,

sup

n

n

p

то для

любого числа

> 0

ε

найдется такой полином

=1

( ) =

( )

N

N

m m

m

P t

a t

χ

с коэффициен-

тами

0

m

a

при

≤ ≤

1

,

m N

что

{ :

[0, 1],

( )=0}>1 .

N

mes t t

P t

−ε

Поскольку

= ,

sup

n

n

p

то для любого числа > 0

ε

существует такой номер

,

n

что

1/ < .

n

p

ε

Тогда

1 1/ >1 .

n

p

− ε

В ходе доказательства теоремы 2 было

показано как построить полином

=1

( ) =

( )

N

N

m m

m

P t

a t

χ

с номером

=

n

N m

и коэф-

фициентами

0

m

a

при

1

,

m N

≤ ≤

для которого

1

{ :

[0, 1],

( ) = 0} =1 .

N

n

mes t t

P t

p