9 / 13
Е.А. Власова
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
Таким образом,
0
0
0
1
{ :
[0, 1],
( ) = 0} =
> ,
n
n
m
n
p
mes t t
P t
A
p
−
∈
что противоречит пред-
положению.
►
В ходе доказательства теоремы 2 были установлены следующие два утвер-
ждения.
Теорема 3.
Пусть
1
= (
1) ,
n
n
n
N m k p
p
+
+
−
2,
n
≥
,
n
∈
1
{1, 2, ,
},
n
k
m
−
∈
0
m
a
≠
при
1
m N
≤ ≤
и полином
=1
( ) =
( ).
N
N
m m
m
P t
a t
χ
Тогда на каждом интервале
1
n r
−
Δ
(
n
– 1)
-го ранга с условием
1
1
n
k r m
−
≤ ≤ −
функция
( )
N
P t
может обратиться
в нуль на множестве меры, не большей, чем
1
(1 1/ )
.
n n r
p
−
− Δ
В то же время на каж-
дом интервале
nr
Δ
n-го ранга с условием
0
1
n
r p k
≤ ≤ −
функция
( )
N
P t
может об-
ратиться в нуль на множестве меры, не большей, чем
1
(1 1/
)
.
n
nr
p
+
−
Δ
Теорема 4.
Пусть
1
= (
1) ,
n
n
n
N m k p
p
+
+
−
,
n
∈
1
{1, 2, ,
},
n
k
m
−
∈
0
m
a
≠
при
1
m N
≤ ≤
и полином
=1
( ) =
( ).
N
N
m m
m
P t
a t
χ
Тогда
1
1
{ :
[0, 1],
( ) = 0} 1
.
max{ ,
}
N
n n
mes t t
P t
p p
+
∈
≤ −
Следствие 1.
Пусть
1
= (
1) ,
n
n
n
N m k p
p
+
+ −
,
n
∈
1
{1, 2, ,
},
n
k
m
−
∈
0
m
a
≠
при
1
m N
≤ ≤
и полином
=1
( ) =
( ).
N
N
m m
m
P t
a t
χ
Тогда, если
{ }
n
p
— неубывающая
последовательность целых чисел с условием
2,
n
p
≥
то
1
1
{ :
[0, 1],
( ) = 0} 1
.
N
n
mes t t
P t
p
+
∈
≤ −
Теорема 5.
Если для системы
{ }
n
p
χ
выполнено условие
= ,
sup
n
n
p
∈
∞
то для
любого числа
> 0
ε
найдется такой полином
=1
( ) =
( )
N
N
m m
m
P t
a t
χ
с коэффициен-
тами
0
m
a
≠
при
≤ ≤
1
,
m N
что
{ :
[0, 1],
( )=0}>1 .
N
mes t t
P t
∈
−ε
◄
Поскольку
= ,
sup
n
n
p
∈
∞
то для любого числа > 0
ε
существует такой номер
,
n
∈
что
1/ < .
n
p
ε
Тогда
1 1/ >1 .
n
p
−
− ε
В ходе доказательства теоремы 2 было
показано как построить полином
=1
( ) =
( )
N
N
m m
m
P t
a t
χ
с номером
=
n
N m
и коэф-
фициентами
0
m
a
≠
при
1
,
m N
≤ ≤
для которого
1
{ :
[0, 1],
( ) = 0} =1 .
N
n
mes t t
P t
p
∈
−
►