8 / 13
Нули полиномов по системе типа Хаара
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
11
0
1
0
1
1
1
( ) ( )
1 1
=0 =0 =1
( ) = ( )
( ) =
n n
n m p
s
s
m
nr nr
n
n r
s
P t a t
a
t
+
− −
−
χ +
χ
0
1
0
0
0
0
1
1
2
1
1
1
( ) ( )
( )
( )
1 1
1
1
=0 =0 =1
=0
=1
= ( )
( )
( ).
n n
m p
n m p
n
n
s s
s
s
nr nr
n r n r
n r
s
r
s
a t
a
t
a
t
+
− −
− −
−
−
−
−
χ +
χ +
χ
Примем
( )
=1
s
nr
a
при любых
0
=0, 1, ,
2,
n
n
−
=0, 1, ,
1,
n
r
m
−
=
s
1
1, 2, ,
1.
n
p
+
=
−
При этом, учитывая (3), имеем
1
1
( )
=1
( ) =
( ) =
n
p
s
nr
nr
s
F t
t
+
−
χ
1
1
1
1
1
exp(2
( ) /
) при ( / , ( 1) / ) \ ;
0
при
[ / , ( 1) / ].
n
p
n
n
n
n
n
s
n
n
m isj
t p
t r m r
m Q
t r m r
m
+
−
+
+
=
π
∈
+
=
∉
+
Если
( / , ( 1)/ )\
n
n
t r m r
m Q
∈
+
и
1
( ) = 0,
n
j
t
+
то
1
( ) = (
1)
.
nr
n
n
F t
p
m
+
−
Если
( / , ( 1)/ )\
n
n
t r m r
m Q
∈
+
и
1
( ) 0,
n
j
t
+
≠
то
1
1
1
1
1
1
1
2 ( )
2 (
1) ( )
exp
exp
1
( )
.
2 ( )
exp
1
n
n
n
n
n
nr
n
n
n
n
ij
t
i p
j
t
p
p
F t
m
m
ij
t
p
+
+
+
+
+
+
+
π
π −
−
=
= −
π
−
Для действительного числа
u
и номера
0
1
= 0,1,
,
1,
n
l
m
−
−
выражение
0
2
1
1
=0 =0
( )
( ) = ( )
n
n m
nr
l
n r
u t
F t G u
− −
χ +
принимает одно и то же значение для любого
(
)
0
0
1
1
/
, ( 1) /
.
n
n
t l m l
m
−
−
∈
+
Если
0
1
min
=0,1,
,
1
=
(1),
min
n
l
l
m
G
G
−
−
то
min
(1) |
| 1> 0
l
G G
+
+
для любого
0
1
= 0, 1,
,
1.
n
l
m
−
−
Если принять
0
min
|
| 2,
u G
= +
то получим
0
( ) > 0
l
G u
для любого
0
1
= 0, 1,
,
1.
n
l
m
−
−
Пусть теперь
1 0
= ,
a u
0
0
0
1
1
( ) = ( )
l
n
n l
sa
G u m
−
−
при
0
1
=0, 1, ,
1.
n
l
m
−
−
Тогда
для
0
0
0
0
0
1
1
1
=1
1
,
pn
n
n
n
n
k
l
k
l
k
t
m m m m
−
−
−
+
∈
+
+
имеем
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
=1
=1
10
( )
( ) ( )
( )
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) =
p
p
n
n
l
m
l
l
n
n l n l
n l
s
s
n
G u
s
s
s
P t G u
a
t G u
t
m
−
−
−
−
−
−
+
χ
+
χ
0
0
0
1
0
1
2 ( )
( ) 1
exp
0.
pn
n
l
s
n
isj t
G u
p
−
=
π
=
+
=