10 / 15
Вариационная форма модели теплового пробоя твердого диэлектрика…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
13
в 10
000 раз ординатами построена при
= 1 и значении
= 60,
несколько
меньшим максимального. В этом случае функционал имеет две стационарные
точки: неустойчивую в виде максимума и устойчивую в виде минимума. Пере-
ход из неустойчивой стационарной точки в устойчивую также показан на рис. 1
линиями со стрелками.
Значению
= 0, 2
отвечает на рис. 1 несколько различных вариантов распо-
ложения стационарных точек функционала
1
.
J
При
1
<
и
*
1
>
функционал
имеет единственный экстремум — минимум, соответствующий устойчивому
распределению температуры в слое диэлектрика. При
= 40
и
= 80
миниму-
мы расположены на штрихпунктирных линиях с темными треугольниками и
светлыми квадратами (ординаты первой кривой увеличены в 20 000 раз), при-
чем во втором случае абсцисса минимума настолько велика, что реализация
распределения температуры в слое диэлектрика маловероятна. При
*
1
=
у
функционала две стационарных точки на штрихпунктирной линии со светлыми
кружками (ординаты левой ветви кривой увеличены в 2000 раз). Свойства этих
точек аналогичны случаю
1
= .
Если
*
1
1
< < ,
то функционал имеет три ста-
ционарных точки (при = 70
два минимума и один максимум на штрихпунк-
тирной линии с темными кружками, ординаты которой увеличены в 5000 раз).
Отрезками линии со стрелками отмечен переход из неустойчивой точки, соот-
ветствующей максимуму, в одну из устойчивых точек, отвечающей минимуму,
причем реализация устойчивого температурного состояния при большем зна-
чении
1
B
маловероятна.
При 0, 2 < <
ординаты экстремумов зависимости
1
( )
B
возрастают
вплоть до объединения экстремумов в упомянутую выше точку перегиба при
90, 988.
Этой точке соответствует единственный экстремум (минимум)
функционала (пунктирная кривая со светлыми кружками и ординатами, увели-
ченными в 2000 раз). Таким образом, увеличение параметра ,
соответствую-
щее более высокому темпу возрастания с температурой коэффициента тепло-
проводности материала диэлектрика, приводит к вырождению скачкообразного
эффекта теплового пробоя.
Если в целях сравнения в качестве допустимой для функционала (14) при-
нять квадратичную функцию
2
2
2
( ) = (1 ),
B
также удовлетворяющую гра-
ничным условиям на обеих поверхностях рассматриваемого плоского слоя ди-
электрика, то из условия
2
[ ]/
= 0
J
B
стационарности этого функционала по-
лучим трансцендентное уравнение
1
2
2
2
2
0
4
(1 ) exp
= 0.
3
ln(1 (1 ))
B
d
B
(16)
При = 6
из уравнения (16) следует связь между параметром
и коэффициентом
2
,
B
достаточно близкая к полученной с использованием функции
1
( )
при оди-
наковых значениях
.
Например, при = 0
зависимость
2
( )
B
имеет максимум с