4 / 15
Вариационная форма модели теплового пробоя твердого диэлектрика…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
7
U
— разность электрических потенциалов на электродах. В случае цилиндри-
ческого слоя диэлектрика [1]
0
( ) =
,
ln(1 / )
U
E r
r
h r
(5)
где
0
r
— радиус внутренней поверхности этого слоя. При
0
/
1
h r
и в этом слу-
чае можно принять
/ = const.
E U h
Для решения уравнения (4) необходимо сформулировать граничные усло-
вия на поверхностях слоя диэлектрика. Электрический и тепловой контакты
между диэлектриком и электродами примем идеальными. Термические сопро-
тивления плоских электродов с толщинами
0
h
и
1
,
h
имеющих коэффициенты
теплопроводности
0
и
1
,
будут равны
0 0
/
h
и
1 1
/ .
h
Для суммарных терми-
ческих сопротивлений между каждой поверхностью слоя диэлектрика и средой,
с которой происходит конвективный теплообмен на внешней поверхности со-
ответствующего электрода, справедливы равенства
0 0 0
0
= /
1/
R h
и
1 1 1
1
= /
1/ ,
R h
где
0
,
1
— коэффициенты конвективного теплообмена на
соответствующих поверхностях слоя диэлектрика. В итоге граничные условия
на поверхностях плоского слоя диэлектрика примут вид
*
*
0 0
1
0
1
=0
=
=
;
=
,
h
r
r h
dT T T
dT T T
dr
R
dr
R
(6)
где
0
= (0),
T T
= ( ),
h
T T h
*
0
,
T
*
h
T
— температура окружающей среды со стороны
соответствующих поверхностей слоя диэлектрика.
В случае цилиндрического слоя диэлектрика граничные условия на его по-
верхностях определяют формулы, аналогичные по структуре равенствам (6), в
которых суммарные термические сопротивления будут равны [14]
0
0
0
0 0
0
0 0
1
1
= ln
;
1 /
(1 / )
r R
h r
h r
0 1 0
0
1
1
0
1
0
ln(1 /
/ )
/
=
.
ln(1 / )
ln(1 / )
h h r h r
h r
R
h r
h r
Уравнение (4) вместе с граничными условиями (6) и представленными вы-
ше дополнительными соотношениями составляют дифференциальную форму
математической модели теплового пробоя диэлектрика при переменном
напряжении. Для частного случая
= const
известны решения сформулирован-
ной задачи для цилиндрического слоя диэлектрика с идеально теплоизолиро-
ванной внутренней поверхностью и плоского слоя, одна из поверхностей кото-
рого также идеально теплоизолирована [1]. При получении этих решений
использована табулированная интегрально-показательная функция, но если
зависимость (2) аппроксимировать формулой (3), то их удается представить в
элементарных функциях. Последующий анализ указанных решений дает воз-