6 / 15
Вариационная форма модели теплового пробоя твердого диэлектрика…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
9
ствах (10) принять
0
= 0
и
0
,
R
1
R
заменить
0
0*
= / ,
R R h
1
1*
= / .
R R h
При
этом
0
и
1
станут значениями искомой функции
( )
при
= 0
и
=1.
Связь вариационной формы математической модели с дифференциальной
формой этой модели заключается в том, что в стационарных точках функцио-
нала, составляющего основу вариационной формы, должны быть выполнены
соотношения (9) и (10), входящие теперь в дифференциальную форму модели.
Построить такой функционал можно следующим образом.
Умножив уравнение (9) на вариацию
и проинтегрировав это произве-
дение по толщине слоя диэлектрика, запишем
1
1
0
0
2
0
0
0
exp
= 0.
(ln(1 1/ ))
( )
n
n
n
d d
d
d
d d
После вычисления первого интеграла в левой части этого равенства будем
иметь
1
1
0
0
0
1
0
0
= 1
=
0
0
0
0
= ( 1)
.
n
n
n
n
d d
d
d
d d
d
d
d d
d
d
d d
Заменив первый интеграл этим результатом и сложив после этого указан-
ное равенство с результатами умножения соотношений (10) на
0 0
n
и
0
1
( 1)
,
n
получим
1
1
0
0
2
0
0
0
exp
(ln(1 1/ ))
( )
n
n
n
d d d
d
d d
*
*
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
( )
( )
( 1)
= 0.
n
n
R
R
(11)
Равенство (11) с учетом правила вычисления вариации интеграла с пере-
менным верхним пределом [13, 15] соответствует условию
[ ,
]= 0
J
стацио-
нарности функционала
2
1
( )
0
2
0
0
0
1 ( )
[ ]=
exp
2
( ln(1 1/ ))
( )
n
n
d
J
d d
d
*
*
0
0
1
1
0
1 0
0
0
1
( ) 2
( ) 2
( )
( )( 1) .
2
2
n
n
R
R
(12)
Функционал (12) допустимо рассматривать при условии
0
0
1
на
множестве непрерывных и кусочно дифференцируемых функций
( ).
При
идеальной теплоизоляции одной из поверхностей слоя диэлектрика термиче-
ское сопротивление на этой поверхности стремится к бесконечности, что при-