7 / 15
В.С. Зарубин
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
водит к исчезновению соответствующего слагаемого (второго или третьего) в
правой части формулы (12). Если на одной или обеих поверхностях слоя ди-
электрика вместо условий теплообмена с окружающей средой заданы фиксиро-
ванные значения температуры, которым отвечают безразмерные значения
0
или (и)
1
,
то в правой части соотношения (12) следует опустить второе или
третье слагаемое (или оба этих слагаемых). В этом случае допустимая функция
при
0
=
или (и)
0
= 1
должна принимать соответствующее безразмерное
значение
0
( )
или (и)
1
( ),
определяемое с помощью формулы (8). Для
плоского слоя диэлектрика в соотношении (12) необходимо принять
0
= 0
и
= 0.
n
Анализ стационарных точек функционала.
Зависимость коэффициента
теплопроводности диэлектрика от температуры примем в виде
( ) =
T
*
*
exp (
) ,
b T T
где коэффициент
b
может быть как положительным, так и
отрицательным (в частном случае при
= 0
b
коэффициент теплопроводности не
зависит от температуры). Тогда из равенства (8) получим
( ) =
exp ( 1) 1,
где
*
= .
bT
Откуда следует формула для обратной функции
( ) =1 (1/ ) ln(1 ).
(13)
В целях сокращения числа параметров при анализе стационарных точек
функционала (12) рассмотрим плоский слой диэлектрика (
0
= = 0
n
). Примем
поверхность этого слоя при
= 0
идеально теплоизолированной, а на поверх-
ности при
=1
зададим значение
(1) =1
безразмерной температуры, которо-
му, согласно формуле (8), соответствует значение
1
= 0.
Тогда в правой части
формулы (12) будут отсутствовать второе и третье слагаемые. В итоге с учетом
формулы (13) вместо соотношения (12) получим
2
( )
1
1
0
0
1 ( )
[ ]=
exp
.
2
ln(1 )
d
J
d d
d
(14)
Для функционала (14) одной из возможных допустимых будет тригономет-
рическая функция
1
1
( ) = cos( / 2),
B
удовлетворяющая граничным условиям
на обеих поверхностях плоского слоя диэлектрика. Эта функция содержит ко-
эффициент
1
,
B
определяемый условием
1
1
[ ]/ = 0
J
B
стационарности функ-
ционала [16, 17], приводящим после подстановки в функционал (14) функции
1
( )
к трансцендентному уравнению
1
2
1
1
0
exp
cos
= 0
8
ln(1
cos( / 2))
2
B
d
B
(15)
относительно этого коэффициента. Связь коэффициента
1
B
с параметром
мож-
но представить графически при фиксированных значениях
и
.
С использова-
нием уравнения (15) в полулогарифмических координатах на рис. 1 построена