11 / 15
В.С. Зарубин
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
ординатой
2
74, 549
и абсциссой
2
0, 325,
B
а при = 0, 2
— максимум с орди-
натой
*
2
76, 755
и абсциссой
*
2
0, 350.
B
Близкими также являются расположе-
ние и свойства всех характерных стационарных точек функционала
1
.
J
Сравнительная оценка интегральной погрешности.
Несмотря на малое
различие результатов при использовании двух рассмотренных функций, ап-
проксимирующих действительное распределение безразмерного потенциала
теплопроводности в плоском слое диэлектрика, с прикладной точки зрения це-
лесообразно располагать количественной мерой погрешности, соответствую-
щей каждой этой функции [20]. В рассматриваемом слое действительному рас-
пределению
*
( )
безразмерного потенциала теплопроводности соответствует
безразмерная плотность
*
*
( ) = ( ) /
q
d
d
теплового потока, удовлетворяю-
щая условию
*
*
( ) = exp
,
ln(1
( ))
dq
d
следующему при
= 0
n
из уравнения (9) с учетом формулы (13). В общем случае
приближенное распределение
( )
не удовлетворяет уравнению (9), которое
следует из закона сохранения энергии. Этот закон не будет нарушен, если без-
размерную плотность
( )
q
теплового потока, соответствующую функции
( ),
определить по соотношению
0
( ) = exp
,
ln(1 ( ))
q
d
(17)
получаемому из предыдущего равенства после замены в нем
*
( )
величиной
( )
и учитывающему, что
(0) = 0
q
на идеально теплоизолированной поверх-
ности плоского слоя при
= 0.
Однако в общем случае не будет выполнено ра-
венство
( )
( ) / = 0,
q d d
следующее из закона теплопроводности Фурье [21].
Поэтому величину
2
1
0
( )
= ( )
d q
d
d
(18)
можно рассматривать как интегральную меру погрешности, вызванной при-
ближенным представлением распределения безразмерного потенциала тепло-
проводности в плоском слое функцией
( ),
и использовать эту меру при
сравнительной оценке близости функций
1
( )
и
2
( )
к функции
*
( ).
Проведем сравнение зависимостей
( ),
q
( ) = ( )
( )/
f
q d d
и значений
,
соответствующих двум выбранным выше в качестве допустимых для функцио-
нала (14) аппроксимирующих функций
1
( )
и
2
( )
при полученных выше
значениях
*
1
75, 579
B
и
*
2
76, 755.
B
Пунктирной линией на рис. 2 показана зави-
симость функции
*
1
1
( ) = cos( / 2)
B
от
,
а штриховой линией — функции
*
2
2
2
( ) = (1 ).
B
Штрихпунктирной линией и сплошной кривой на этом рисунке
приведены зависимости
1
( )
q
и
2
( ),
q
полученные подстановкой в формулу (17)