5 / 15
В.С. Зарубин
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
можность установить условия, при которых эти решения перестают существо-
вать, что и определяет состояние теплового пробоя диэлектрика.
Тепловой пробой слоя диэлектрика может быть связан с возникновением в
этом слое значительной разности значений температуры, в связи с чем необходи-
мо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности материала диэлек-
трика от температуры. Это приводит к существенному усложнению дифференци-
альной формы модели теплового пробоя, затрудняющему ее количественный
анализ. В этом случае целесообразно дифференциальной форме модели поста-
вить в соответствие вариационную форму, которая непосредственно путем
использования аппроксимации температурного состояния в слое диэлектрика
позволяет оценить критическое значение разности электрических потенциалов,
соответствующее наступлению теплового пробоя этого слоя.
Вариационная форма математической модели.
Для перехода к вариаци-
онной форме модели теплового пробоя слоя диэлектрика предварительно вве-
дем с помощью подстановки Кирхгофа [14] функцию
*
( ) = ( ) ,
T
T
T T dT
(7)
называемую обычно потенциалом теплопроводности. Здесь
*
T
— нижняя грань
множества возможных значений температуры в рассматриваемом слое диэлек-
трика. Разделив обе части равенства (7) на
**
,
T
где
*
*
= ( ),
T
запишем
1
* *
( )
( ) = = ( ) ,
T
d
T
(8)
где
*
= / ;
T T
*
( ) = ( ) / .
T
Поскольку
( ) > 0,
функция
( )
является возрастающей при увеличе-
нии безразмерной температуры
и имеет взаимно однозначную обратную
функцию
( ),
также возрастающую, но при увеличении
.
Тогда уравнение
(4) с учетом равенств (5) и (8) в случае цилиндрического слоя диэлектрика мож-
но привести к виду
2
0
exp
= 0.
(ln(1 1/ ))
( )
n
n
n
n
d d
d
d
(9)
Здесь
= / ;
r h
0 0
= / ;
r h
2
0 0 *
= ( )
/(
);
U k
W
0 *
= / ( ).
W k T
Граничные усло-
вия (6) перейдут в равенства
*
*
0
0
1
1
0
1
=
= 1
0
0
( )
( )
= 0;
= 0,
d
d
R
d
R
d
(10)
где
*
*
0 0 *
= / ;
T T
*
*
1 1 *
= / ;
T T
0
,
1
— значения искомой функции
( )
на по-
верхности цилиндрического слоя диэлектрика при
0
=
и
0
= 1.
В случае
плоского слоя диэлектрика в уравнении (9) следует положить
= 0,
n
а в равен-