На рис. 3 приведены графики программных траекторий
η
1
(
t
)
и
η
2
(
t
)
, а на рис. 4 — графики программных управлений, расчитан-
ные численно при заданном изменении
x
и
y
и начальных условиях
η
1
(0) = 0
,
055893
,
η
2
(0) = 0
,
11408
. Отметим, что выбор началь-
ных условий существенно влияет на вид получаемой программ-
ной траектории. Таким образом, получено программное движение
(
z
(
t
)
, η
(
t
)
, u
(
t
))
. Рассмотрим задачу его стабилизации.
Как показано ранее, управление вида (23) будет равномерно ста-
билизировать нулевое положение равновесия нестационарной систе-
мы в отклонениях от программного движения, если будут выполнены
условия теоремы 1. Для заданной программной траектории (37) эти
условия выполняются. Покажем, что cистема нулевой динамики (31)
равномерно асимптотически устойчива.
Построим для системы (31) функцию Ляпунова. Воспользуемся
тем, что при
v
(
t
) =
v
0
система стационарная. При заданных чи-
словых параметрах по формуле (32) получим Re
λ
1
,
2
<
−
2
,
5420
, и,
значит, система нулевой динамики асимптотически устойчива. Решив
соответствующее (стационарное) уравнение Ляпунова
PA
+
A
T
P
=
−
Q,
где
A
— матрица системы, а
Q
=
0
,
45
π
0
0 0
,
3
π
, получим положи-
тельно определенную матрицу
P
≈
0
,
60646
−
0
,
00186
−
0
,
00186 0
,
014024
.
Используем функцию
V
(
η
) =
η
T
Pη
в нестационарном случае.
При этом производная
V
(
η
)
есть квадратичная форма с матри-
цей
W
(
t
)
, и численный анализ показывает, что она отрицательно
определена по обобщенному критерию Сильвестра [13], поскольку
W
1
,
1
(
t
)
<
−
1
,
40
<
0
, а
det
W
(
t
)
>
1
,
26
>
0
.
Поскольку функция Ляпунова
V
(
η
)
не зависит от времени, все
условия [14, 15] равномерной асимптотической устойчивости выпол-
няются и положение равновесия системы нулевой динамики будет
равномерно асимптотически устойчиво.
На рис. 5 приведены программное и реализующееся изменение пе-
ременной
η
1
, а также программная и реализующаяся линии движения
на плоскости при наличии отклонений начальных условий от про-
граммных значений.
Пример 2.
Для “четырехколесной” модели примем
a
= 0
,
4
, а
c
f
1
=
c
f
2
=
c
f
/
2
,
c
r
1
=
c
r
2
=
c
r
/
2
. Программную траекторию по
z
1
и
z
3
зададим соотношениями (37). На рис. 6 приведены графики из-
менения переменных
η
1
и
η
2
при различных отклонениях начальных
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
