Рассмотрим такую програмную траекторию
(
z
(
t
)
, η
(
t
))
, для кото-
рой
z
2
(
t
)
> M
2
>
0
и
|
z
(
t
)
|
< M
1
, где
M
1
,
M
2
— некоторые констан-
ты. Отметим, что требование ограниченности программной траекто-
рии является достаточно естественным, а условие положительности
z
2
(
t
)
не является жестким, так как связано с использованием функции
arctg(
∙
)
, которую при численных расчетах можно заменить функцией
двух переменных
atan2(
a, b
)
.
При сделанных предположениях о программной траектории пра-
вая часть системы (30) непрерывно дифференцируема в окрестности
точки
(Δ
z,
Δ
η
)
, а матрица Якоби ограничена по норме равномерно по
t
в некоторой замкнутой ограниченной окрестности указанной точки.
Система нулевой динамики имеет вид
Δ ˙
η
1
=
−
c
0
v
(
t
)Δ
η
1
−
c
0
Δ
η
2
;
Δ ˙
η
2
=
γ
1
(
t
)Δ
η
1
+
γ
2
(
t
)Δ
η
2
,
(31)
где
v
(
t
) =
p
z
2
(
t
)
2
+
z
4
(
t
)
2
;
γ
1
(
t
) =
c
1
−
c
0
v
(
t
)
δ
(
t
)
;
γ
2
(
t
) =
−
c
0
δ
(
t
)
;
δ
(
t
) =
c
2
v
(
t
)
−
v
(
t
)
, и представляет собой линейную нестацио-
нарную систему, для которой условия асимптотической устойчивости
известны [12].
Если нулевая динамика является равномерно асимптотически
устойчивой, то все условия теоремы 1 выполнены. Следовательно,
программное движение стабилизируется управлением (23).
В частном случае, когда
v
(
t
) =
v
0
постоянна, система (31) будет
стационарной. Cобственные числа ее матрицы равны
λ
1
,
2
=
−
c
0
c
2
±
p
c
2
0
c
2
2
−
4
v
2
0
c
0
c
1
2
v
0
.
(32)
Из положительности
c
0
,
c
1
,
c
2
и
v
0
вытекает, что Re
λ
1
,
2
<
0
и положе-
ние равновесия стационарной системы асимптотически устойчиво.
“Четырехколесная” модель.
Рассмотрим “четырехколесную” мо-
дель мобильного робота при тех же предположениях, что были сдела-
ны для “велосипедной” модели. Расчетная схема приведена на рис. 2
(
a
— половина расстояния между колесами, остальные обозначения
аналогичны обозначениям рис. 1).
Для углов бокового скольжения передних и задних колес с уче-
том того, что за положительное направление отсчета углов принято
направление против хода часовой стрелки, получены соотношения
β
f
1
= arctg
v
sin
β
+
l
f
ω
v
cos
β
−
aω
−
δ
=
α
f
1
(
v, β, ω
)
−
δ
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
47
