Во втором уравнении системы (33) слагаемым
(
c
f
1
−
c
f
2
)
au
2
1
можно
пренебречь. Тогда системе (33) будут сопоставлены векторные поля
при управлениях
B
1
=
c
f
1
+
c
f
2
mv
∂
∂β
+
γ
5
∂
∂ω
;
B
2
=
−
β
v
∂
∂β
+
∂
∂v
,
где
γ
5
=
a
(
c
f
2
α
f
2
−
c
f
1
α
f
1
) +
l
f
(
c
f
1
+
c
f
2
)
J
.
Используя допущение о малости углов скольжения, упростим вы-
ражения для
α
r
1
,
α
r
2
,
α
f
1
,
α
f
2
по аналогии с выражением (10). Вычи-
слим коммутатор векторных полей
B
1
и
B
2
:
[
B
1
, B
2
] =
a
J
βc
f
2
v
+
ωa
−
βc
f
1
v
−
ωa
+
+
c
f
1
ω
(
aβ
+
l
f
)
(
v
−
ωa
)
2
+
c
f
2
ω
(
aβ
−
l
f
)
(
v
+
ωa
)
2
∂
∂β
=
γ
6
∂
∂β
.
Таким образом, векторные поля
B
1
и
B
2
не коммутируют. Про-
верим инволютивность распределения
span(
B
1
, B
2
)
, для чего рассмо-
трим матрицу
U
, по столбцам которой записаны координаты вектор-
ных полей
B
1
,
B
2
и
[
B
1
, B
2
]
. Минор, составленный из элементов трех
первых строк матрицы
U
, равен
γ
5
γ
6
и отличен от нуля при
γ
5
6
= 0
и
γ
6
6
= 0
. Таким образом, распределение
span(
B
1
, B
2
)
не инволютивно,
но инволютивным будет распределение
span(
B
1
, B
2
,
[
B
1
, B
2
])
.
Действительно, поскольку последние три компоненты порождаю-
щих векторных полей
B
1
,
B
2
,
[
B
1
, B
2
]
, соответствующие координатам
∂
∂ψ
,
∂
∂x
и
∂
∂y
, равны нулю, компоненты коммутаторов
[
B
1
,
[
B
1
, B
2
]]
и
[
B
2
,
[
B
1
, B
2
]]
, соответствующие указанным координатам, также будут
равны нулю. Следовательно, любой минор четвертого порядка матри-
цы, по столбцам которой записаны координаты векторных полей
B
1
,
B
2
,
[
B
1
, B
2
]
и
[
B
1
,
[
B
1
, B
2
]]
, содержит нулевую строку и равен нулю.
То же положение верно для векторного поля
[
B
2
,
[
B
1
, B
2
]]
.
Для распределения
span(
B
1
, B
2
,
[
B
1
, B
2
])
функции
φ
1
=
ψ
,
φ
2
=
x
и
φ
2
=
y
являются первыми интегралами. Размерность распределения
равна 3 всюду, кроме точек, где
γ
5
= 0
или
γ
6
= 0
. Следовательно,
только три первых интеграла можно использовать для приведения си-
стемы к квазиканоническому виду в отличие от “велосипедной” моде-
ли, где таких интегралов было найдено четыре. Это означает, что при
любых заменах переменных в преобразованной системе управления
не будут входить в лучшем случае только в три уравнения. Поэто-
му систему (33) нельзя преобразовать к специальному каноническому
виду (13).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
49
