динамики
Δ ˙
η
= ˉ
q
(0
,
Δ
η, t
)
равномерно асимптотически устойчи-
ва в точке
Δ
η
= 0
, а линейная подсистема
(27)
асимптотически
устойчива в точке
Δ
z
= 0
, то каскадная динамическая система
(27)
,
(28)
равномерно асимптотически устойчива в положении рав-
новесия
(Δ
z,
Δ
η
) = (0
,
0)
.
Доказательство теоремы 1 практически полностью повторяет дока-
зательство аналогичной теоремы, приведенное в [11] для скалярного
случая, поскольку последнее базируется только на предположении об
асимптотической устойчивости замкнутой системы (27) и не учиты-
вает число управлений в системе (22).
Для исследования выполнения условий теоремы 1 запишем правые
части последних двух уравнений системы (17) в переменных
z, η
:
˙
η
1
=
с
0
q
z
2
2
+
z
2
4
arctg
z
4
z
2
−
η
1
−
η
2
;
˙
η
2
=
−
c
1
arctg
z
4
z
2
−
η
1
+
+
c
0
с
2
p
z
2
2
+
z
2
4
arctg
z
4
z
2
−
η
1
−
η
2
p
z
2
2
+
z
2
4
−
−
c
0
q
z
2
2
+
z
2
4
arctg
z
4
z
2
−
η
1
−
η
2
q
z
2
2
+
z
2
4
.
(29)
где
c
0
=
ml
f
J
;
c
1
=
c
r
l
r
+
l
f
ml
f
;
c
2
=
c
r
l
f
l
r
+
l
2
r
ml
f
.
Запишем систему в отклонениях
Δ ˙
η
1
=
с
0
(
q
(
z
2
(
t
) + Δ
z
2
)
2
+ (
z
4
(
t
) + Δ
z
4
)
2
(arctg(
z
4
(
t
) + Δ
z
4
z
2
(
t
) + Δ
z
2
−
−
η
1
(
t
)
−
Δ
η
1
)
−
η
2
(
t
)
−
Δ
η
2
)
−
−
с
0
(
p
z
2
(
t
)
2
+
z
4
(
t
)
2
arctg
z
4
(
t
)
z
2
(
t
)
−
η
1
(
t
))
−
η
2
(
t
) ;
Δ ˙
η
2
=
−
c
1
arctg
z
4
(
t
) + Δ
z
4
z
2
(
t
) + Δ
z
2
−
η
1
(
t
)
−
Δ
η
1
+
+
c
0
(
p
((
z
2
(
t
) + Δ
z
2
)
2
+ (
z
4
(
t
) + Δ
z
4
)
2
) arctg
z
4
(
t
) + Δ
z
4
z
2
(
t
) + Δ
z
4
−
−
η
1
(
t
)
−
Δ
η
1
)
−
η
2
(
t
)
−
Δ
η
2
c
2
p
(
z
2
(
t
)+Δ
z
2
)
2
+(
z
4
(
t
) + Δ
z
4
)
2
−
−
p
(
z
2
(
t
)+Δ
z
2
)
2
+(
z
4
(
t
) + Δ
z
4
)
2
−
+
c
1
arctg
z
4
(
t
)
z
2
(
t
)
−
η
1
(
t
)
−
c
0
(
p
z
2
(
t
)
2
+
z
4
(
t
)
2
) arctg
z
4
(
t
)
z
2
(
t
)
−
−
η
1
(
t
))
−
η
2
(
t
)
c
2
p
z
2
(
t
)
2
+
z
4
(
t
)
2
−
p
z
2
(
t
)
2
+
z
4
(
t
)
2
!
.
(30)
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
