равновесия нестационарной системы (22) применим метод нелиней-
ной стабилизации [8] и зададим стабилизирующее управление в виде
Δ
u
1
Δ
u
2
=
G
−
1
−
ˉ
f
1
(Δ
z,
Δ
η, t
)
ˉ
f
2
(Δ
z,
Δ
η, t
)
−
−
k
11
Δ
z
1
+
k
12
Δ
z
2
+
k
13
Δ
z
3
+
k
14
Δ
z
4
k
21
Δ
z
1
+
k
22
Δ
z
2
+
k
23
Δ
z
3
+
k
24
Δ
z
4
.
(23)
Тогда
Δ ˙
z
1
= Δ
z
2
;
Δ ˙
z
2
=
−
k
11
Δ
z
1
−
k
12
Δ
z
2
−
k
13
Δ
z
3
−
k
14
Δ
z
4
;
Δ ˙
z
3
= Δ
z
4
;
Δ ˙
z
4
=
−
k
21
Δ
z
1
−
k
22
Δ
z
2
−
k
23
Δ
z
3
−
k
24
Δ
z
4
,
(24)
или в матричной форме
˙Δ
z
=
K
Δ
z,
(25)
где матрица
K
имеет вид
K
=
0 1 0 0
−
k
11
−
k
12
−
k
13
−
k
14
0 0 0 1
−
k
21
−
k
22
−
k
23
−
k
24
.
(26)
Выбором матрицы коэффициентов
K
можно обеспечить экспо-
ненциальную устойчивость нулевого решения стационарной систе-
мы (24), и построенное стабилизирующее управление обеспечивает
стабилизацию программной траектории по переменным
z
.
Отметим, что используя замену переменных (15), можно записать
стабилизирующее управление в исходных переменных.
Условия, при которых нулевое положение равновесия системы (22)
при управлении (23) равномерно асимптотически устойчиво, дает сле-
дующая теорема, являющаяся обобщением результата, приведенного
в работе [11] для систем со скалярным управлением.
Теорема 1.
Если нестационарная каскадная система
Δ ˙
z
=
K
Δ
z,
(27)
Δ ˙
η
= ˉ
q
(Δ
z,
Δ
η, t
)
,
ˉ
q
(0
,
0
, t
) = 0
,
(28)
такова, что функция
ˉ
q
(Δ
z,
Δ
η, t
)
непрерывно дифференцируема в
окрестности точки
(Δ
z,
Δ
η
) = (0
,
0)
, матрица Якоби
∂
ˉ
q
∂
(Δ
z,
Δ
η
)
ограничена по норме равномерно по
t
в некоторой замкнутой огра-
ниченной окрестности точки
(Δ
z,
Δ
η
) = (0
,
0)
, система нулевой
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
45
