Подставив (6) в (5) c учетом уравнений связи между строительной
и неподвижной системами координат, получим
˙
β
=
f
f
cos
δ
+
f
r
mv
cos
β
−
ω
−
tg
β
v
˙
v
;
J
˙
ω
=
f
f
l
f
cos
δ
−
f
r
l
r
;
˙
ψ
=
ω
;
˙
x
=
v
cos(
β
+
ψ
);
˙
y
=
v
sin(
β
+
ψ
)
.
(8)
Система уравнений (8) описывает движение мобильного робота
при условии, что линейная скорость центра масс отлична от нуля и
|
β
|
< π/
2
.
В системе (8) управляемыми величинами будем считать угол по-
ворота передних колес
δ
и ускорение
˙
v
. Обозначим
δ
и
˙
v
через
u
1
и
u
2
соответственно и добавим в систему (8) уравнение
˙
v
=
u
2
.
Cогласно гипотезе Рокара [2], в диапазоне углов
β
f
,
β
r
от 0 до
(5
. . .
8)
◦
поперечные силы реакции
f
f
,
f
r
, действующие на передние
и задние колеса, полагают равными
f
f
=
−
c
f
β
f
, f
r
=
−
c
r
β
r
(9)
и направленными в сторону, противоположную поперечным составля-
ющим скоростей колес. Здесь
c
f
и
c
r
— коэффициенты пропорцио-
нальности, характеризующие взаимодействие колес с дорогой.
Упростим cистему (8) при условии, что угол поворота передне-
го колеса
δ
и угол бокового скольжения
β
малы и можно принять
sin
β
≈
β
,
cos
β
≈
1
,
sin
δ
≈
δ
,
cos
δ
≈
1
.
Подставив в (8) соотношения (9), (1) и упростив первые два урав-
нения системы (8) с учетом сделанных предположений, получим
˙
β
=
−
c
f
(
α
f
−
δ
) +
c
r
α
r
mv
−
ω
−
β
v
˙
v
=
=
−
c
f
α
f
+
c
r
α
r
mv
−
ω
+
c
f
mv
u
1
−
β
v
u
2
и
J
˙
ω
=
−
c
f
(
α
f
−
δ
)
l
f
+
c
r
α
r
l
r
=
−
c
f
α
f
l
f
+
c
r
α
r
l
r
+
c
f
l
f
u
1
.
Выражения (1) с учетом малости углов можно упростить, приняв
α
f
=
vβ
+
l
f
ω
v
;
α
r
=
vβ
−
l
r
ω
v
.
(10)
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
