Перейдем к анализу инволютивности. Пополнение семейства
H
1
состоит из векторных полей
[
B
1
,
ad
A
B
1
]
,
[
B
1
,
ad
A
B
2
]
,
[
B
2
,
ad
A
B
1
]
,
[
B
2
,
ad
A
B
2
]
,
[ad
A
B
1
,
ad
A
B
2
]
.
Вычислим координаты векторного поля
[
B
1
,
ad
A
B
1
]
. Рассмотрим
матрицу, составленную из матрицы
U
1
и столбца координат векторного
поля
[
B
1
,
ad
A
B
1
]
. Выделим из нее минор пятого порядка, составлен-
ный из строк со второй по шестую. В результате соответствующих
вычислений получим, что модуль этого минора равен
l
2
f
c
4
f
β
J
2
m
2
v
и отли-
чен от нуля при
β
6
= 0
.
Таким образом, ранг рассматриваемой матрицы больше ранга ма-
трицы
U
1
и распределение, порожденное семейством
H
1
, неинволю-
тивно. Следовательно, система (11) не преобразуется к каноническому
виду.
Однако остается возможность преобразования системы (11) к ква-
зиканоническому виду с индексами
n
1
= 2
и
n
2
= 3
, если размерность
инволютивного замыкания распределения, порожденного семейством
H
1
, равна пяти. Для этого вычислим ранг матрицы
G
, по столбцам ко-
торой записаны координаты векторных полей
B
1
,
B
2
,
ad
A
B
1
,
ad
A
B
2
,
[
B
1
,
ad
A
B
1
]
,
[
B
2
,
ad
A
B
1
]
; ранг равен шести при
β
6
= 0
.
Отметим, что определитель матрицы
G
равен нулю при
β
= 0
, т.е.
при прямолинейном движении c отсутствием эффекта поперечного
псевдоскольжения (увода), однако при отклонении угла
β
от нуля он
становится отличным от нуля.
Из проведенного анализа следует, что система (11) приводится
только к квазиканоническому виду с индексами
n
1
=
n
2
= 2
.
Отметим, что в силу инволютивности распределения
H
0
можно вы-
брать такую систему координат, в которой два последних уравнения
системы квазиканонического вида не содержат управлений. Для этого
достаточно использовать в качестве координатных функций функцио-
нально независимые первые интегралы распределения
H
0
. Такой вид
системы называют специальным квазиканоническим видом.
Таким образом система шестого порядка с двумя управлениями
преобразуется к специальному квазиканоническому виду c индексами
n
1
=
n
2
= 2
:
˙
z
1
=
z
2
,
˙
z
2
=
f
1
(
z, η
) +
g
11
(
z, η
)
u
1
+
g
12
(
z, η
)
u
2
;
˙
z
3
=
z
4
,
˙
z
4
=
f
2
(
z, η
) +
g
21
(
z, η
)
u
1
+
g
22
(
z, η
)
u
2
;
˙
η
1
=
f
3
(
z, η
);
˙
η
2
=
f
4
(
z, η
)
,
(13)
где
z
= (
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
)
T
,
η
= (
η
1
, η
2
)
T
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
39
